relaciones métrica

en los triángulos rectángulos_1
Bloque: Geometría
 
IV. TEOREMA DE LA ALTURA.
En todo triángulo rectángulo se cumple la siguiente propiedad, llamada Teorema de la altura:
"La altura correspondiente al ángulo recto es media proporcional entre las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa."
En la escena verás paso a paso la comprobación del teorema de la altura.
Usa el control Paso para ver la comprobación.
El botón Inicio restaura los valores iniciales.
V. TEOREMA DEL CATETO.
En todo triángulo rectángulo se cumple la siguiente propiedad, llamada Teorema del cateto:
"Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella."
En la escena verás paso a paso la comprobación del teorema del cateto.
Usa el control Paso para ver la comprobación.
El botón Inicio restaura los valores iniciales.

En la escena se obtiene la relación para el cateto b. Utilizando la semejanza entre los triángulos rectángulos ABC y DBA se obtiene la respectiva relación para el cateto c, esta es:

c2 = a · c´

ACTIVIDAD:

1.- Realiza en tu cuaderno la deducción del teorema para el cateto c.

 

VI. TEOREMA DE PITÁGORAS.
La relación más importante entre los lados de un triángulo rectángulo es, sin duda, el Teorema de Pitágoras. Dice así:
"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

a2 = b2 + c2

El teorema de Pitágoras admite múltiples demostraciones gráficas, aquí haremos una demostración basada en el teorema del cateto:

Consideremos el triángulo rectángulo ABC y tracemos la altura correspondiente al ángulo recto, se tiene:

Por el teorema del cateto:

c2 = a · c´      y      b2 = a · b´
Sumando estas igualdades:

b2  + c2 = a · b´ + a · c´ = a · (b´+ c´) = a · a = a2

Es decir:

a2  = b2  + c2

Queda así demostrado el Teorema de Pitágoras.
ACTIVIDAD:

1.- Dado el triángulo rectángulo de la figura, completa la tabla teniendo en cuenta que en cada fila aparecen las dimensiones de un triángulo distinto.
a

(Hipot.)

 b

(Cateto)

 c

(Cateto)

 b´

Proyección de b sobre a

 c´

Proyección de c sobre a

 h

Altura

   
    8 cm 6´4 cm        
      8 cm 18 cm      
5 cm   3 cm          
  20 cm 15 cm          
35 cm 28 cm            
      4 cm   3 cm    
  5 cm       4 cm    

Después de realizar los cálculos pedidos, introduciendo el valor de la hipotenusa en el control  "a"  y el del cateto b en el control  "b", podrás comprobar la solución.

         
           
  Joaquín Llera Ferrera
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003