MOVIMIENTOS EN EL PLANO

VECTORES Y TRASLACIONES

Vector de posición.-

Si tenemos un punto cualquiera M se define el vector de posición del puntoM como el segmento orientado que determina el origen de coordenadas O y el punto M.

Las coordenadas del vector de posición de un punto son las coordenadas del propio punto.

1.- Observa que al cambiar los valores de a y b se modifican por igual las coordenadas del punto M y las coordenadas de su vector de posición.

2.- Mantén fijo el valor de una de las coordenadas y cambia el de la otra. ¿Qué ocurre?

3.- Comprueba la posición de los puntos cuando una o las dos coordenadas son cero y una de ellas es negativa.
POR EJEMPLO: a=0 y b=2; a=0 y b=-2; a=-3 y b=0; a=-3 y b=-2.

Vector fijo.-

Además de vectores de posición también podemos considerar vectores cuyos orígenes y extremos sean dos puntos cualesquiera.

El primer punto P del segmento se le llama origen y al segundo punto M se le llama extremo.

La longitud del segmento es el módulo del vector y la dirección del vector es la de la recta en la que está el vector. Otra característica de un vector es el sentido del recorrido que va de P a M.

4.- Mueve el origen del vector (Punto P) con el ratón. Te habrás dado cuenta que las coordenadas del vector (a,b) no cambian. ¿Cómo interpretas esto?.

5.- Ahora deja inmóvil el punto P y cambia los valores de las coordenadas del vector v=(a,b). ¿Qué relación hay entre las coordenadas del punto origen P y del extremo M?

¿Te has dado cuenta de que las coordenadas de M resultan de sumar las de P con las del vector?
Escribe en tu cuaderno una igualdad matemática expresando este resultado.

6.- Utiliza papel cuadriculado para dibujar vectores con las mismas coordenadas y distintos orígenes. Todos ellos tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Vector libre.-

En la actividad anterior has observado que todos los vectores con las mismas coordenadas "hacen el mismo efecto" sea cual sea su origen, estos vectores forman un mismo vector libre.

7.- En primer lugar mueve solamente el punto P, manteniendo fijas las coordenadas (a,b) del vector, observarás que el vector mantiene su módulo, dirección y sentido. Además tampoco cambian ni las coordenadas de los vectores con origen en P ni la del vector con origen en O.

8.- En segundo lugar cambia una o las dos coordenadas del vector (a,b). ¿Qué cambios se han producido en el vector con origen en P? ¿Y en el de origen O?

Podemos concluir que cualquiera de los vectores que forman un vector libre, además de tener el mismo módulo, dirección y sentido, también tienen las mismas coordenadas aunque los orígenes y los extremos no coincidan.

Traslación de un punto.-

Un punto cualquiera A puede ser el origen de un vector v, si el extremo del vector es el punto A´. Diremos que A´ es el punto trasladado de A por el vector v.

9.- Cualquier punto A, B, C o D puede ser trasladado por el vector v(a,b), obteniéndose los puntos trasladados A´, B´, C´ o D´. Además puedes observar que todos los vectores AA´, BB´, CC´o DD´forman parte del mismo vector libre, ya que todos ellos tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

10.- Cambia el vector de traslación (Utilizando las flechas o escribiendo directamente sus coordenadas y pulsando la tecla Intro). Comprueba como es el vector cuando una de sus coordenadas es cero (a=0 ó b=0).

¿Qué operaciones matemáticas debes hacer para obtener las coordenadas de los puntos trasladados a partir de las coordenadas de los puntos iniciales? ¿Encuentras alguna relación con las coordenadas del vector director?

Traslación de una figura.-

Si en una figura trasladamos todos sus puntos obtendremos otra figura que es la figura trasladada de la figura inicial.

11.- El triángulo de vértices ABC se puede trasladar formando un nuevo triángulo A´B´C´. Cambia las coordenadas del vector para comprobar que el triángulo trasladado siempre es el mismo, pero colocado en distintas posiciones.

12.- Mueve con el ratón el vector de la traslación que está colocado en la parte superior de la escena y superponlo encima de los vectores que trasladan los vértices. Haz coincidir el origen del vector con cualquier punto del triángulo original ¿Con qué punto coincide el extremo del vector?

13.- Dibuja en tu cuaderno un motivo (a ser posible una figura no simétrica) y trasládala varias veces variando el vector. También lo puedes hacer dibujando muchas figuras iguales y después recortando y pegando.

Traslada la figura con un vector horizontal (b=0), y repite la traslación del nuevo motivo trasladado utilizando el mismo vector, reitera el proceso varias veces. La figura que se obtiene se llama FRISO, y es muy utilizado en la decoración y el diseño.

Suma de vectores.-

La suma de dos vectores v(a1,b1) y u(a2,b2) es otro vector u+v, que se obtiene de la siguiente forma: se representa el primer vector v con origen en cualquier punto P y en el extremo de v se coloca el origen de u. El vector cuyo origen es P y extremo el extremo de u es el vector v+u.

Las coordenadas de v+u son la suma de las coordenadas de los dos vectores v+u=(a1+a2,b1+b2)

14.- Mueve el puno P y comprueba que los vectores no se modifican, sólo cambian las posiciones de los puntos orígenes y extremos de v ,u y v+u. La suma de vectores es independiente de dónde se coloque el primer vector.

15.- Cambia las coordenadas del vector v(a1,b1) y y mantén fijas las de u observarás que cambia el vector suma u+v.

16.- Haz la suma de los siguientes vectores:
(3,2) + (-3,-2). ¿Cuál es el vector suma?
(3,0) + (0,4).¿Cuál es el vector suma?. ¿Qué figura se ha formado?. Intenta calcular los módulos o longitudes de los tres vectores. Para calcular el modulo de u+v te sugiero que utilices un teorema que conoces: Teorema de Pitágoras.

Traslaciones y suma de vectores.-

Si se traslada una figura mediante un vector suma de otros dos, se obtiene el mismo resultado que si la trasladamos primero respecto a uno de ellos y después respecto del otro.

En las dos escenas aparecen inicialmente en la parte de abajo las coordenadas de vectores v=(a1,b1)=(6,7) y u=(a2,b2)=(5,-2).
En la escena de la izquierda se ven las coordenadas de v+u=(11,5), también el triángulo ABC, y el triángulo trasladado por v+u, A´´B´´C´´, así como las coordenadas de todos los vértices (orígenes y extremos de v+u).
En la escena de la derecha, aparecen las coordenadas de de v y u por separado, el triángulo inicial ABC, el trasladado de éste por v A´B´C´ y a su vez el trasladado de éste último por el vector u A´´ B´´ C´´, también aparecen las coordenadas de todos los puntos.

17.- Comprueba que al sumar las coordenadas de v(6,7) y u(5,-2) (en la escena izda) se obtienen las coordenadas de v+u (de la escena derecha). Cambia los valores primero de uno de los dos vectores y luego de los dos, y haz la misma comprobación.

18.- Escribe en tu cuaderno las coordenadas de los vértices A(-2,-1) B(-1,3) C(-5,2) y toma como vectores
v=(4,3) y u=(6,-3).
1º) Calcula: v+u=
2º) Calcula las coordenadas de AA´´B´´C´´(Estos puntos son los trasladados de ABC por el vector v+u)
3º) Calcula las coordenadas de A´B´C´
4º) Calcula las coordenadas de A´´B´´C´´(Estos puntos son los trasladados de A´B´C´ por el vector u)
5º) Escribe las coordenadas de v y de u en las dos escenas y comprueba que aparecen los mismos resultados que has obtenido en el cuaderno.

Puedes por tanto concluir que obtienes el mismo resultado cuando trasladas una figura por un vector que es suma de dos que si la trasladas primero por uno de ellos y después por el otro.

Autora: Inmaculada Fernández Benito