UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE EL CURSO DESCARTES
LEYES DE KEPLER
Esta unidad didáctica está destinada a alumnos de 1º/2º de BACHILLERATO que realicen un crédito variable de geometría o astronomía.
No se pretende que el alumno conozca a fondo las ecuaciones de las cónicas aunque sí es conveniente haberlas estudiado en su forma cartesiana. Para esto son útiles algunas páginas ya creadas sobre las cónicas como son Construcción y Ecuaciones.
Primera Ley | Segunda Ley | Tercera Ley
Los planetas se
mueven en órbitas elípticas y las áreas barridas son
proporcionales a los tiempos empleados.
En la siguiente escena se muestran dos posiciones iniciales y las correspondientes posiciones finales después de un intervalo t.
Propuestas prácticas:
1.- Mueve con el ratón las posiciones de los puntos P1 y Q1 para ver cómo varía el ángulo entre las posiciones inicial y final.
2.- Modifica el valor del intervalo y observa los resultados.
Nota. Los cálculos no están hechos con la total precisión pero funcionan con bastante aproximación.
El movimiento relativo de dos cuerpos es una cónica.
Si dos cuerpos están sometidos únicamente a las fuerzas gravitatorias, el movimiento relativo de uno con respecto al otro es una cónica.
Consideramos uno de los cuerpos fijo en el origen de coordenadas (foco de la cónica) y el segundo describiendo el movimiento en torno suyo.
El tipo de cónica depende de la velocidad relativa y de la distancia que los separa. Si la velocidad es pequeña, la órbita es cerrada y la cónica es una elipse. Al aumentar la velocidad, aumenta la excentricidad y la órbita se abre pasando por la parábola para llegar a la hipérbola.
En esta escena, el parámetro que determina el tipo de órbita es la excentricidad. Se han añadido dos parámetros más, la distancia mínima y el ángulo del vector de posición.
Se representa la velocidad en los vértices de la órbita y en un punto intermedio variable mediante el ángulo de posición.
Propuestas prácticas:
1.- Modifica el valor de la excentricidad para ver el cambio de órbita. Si e=0 es una circunferencia, si e<1 una elipse, si e=1 una parábola y e>1 da una hipérbola.
2.- Modifica el valor de la distancia y observa cómo se mantiene la excentricidad pero disminuye la velocidad.
3.- Modifica el ángulo y observa cómo varían las velocidades. A mayor distancia del foco menor velocidad.
En la siguiente escena veremos cómo afecta al tipo de órbita la velocidad y la distancia mínima.
Se observa que si modificamos la velocidad manteniendo la distancia cambia la excentricidad. Lo mismo ocurre si modificamos la distancia mínima y mantenemos fija la velocidad.
1.- Modifica el valor de la velocidad y observa lo que ocurre con la excentricidad.
2.- Modifica el valor de la distancia mínima y observa los cambios en la órbita.
Los cubos de los semiejes de las órbitas elípticas son proporcionales a los cuadrados de los tiempos empleados en recorrerlas.
Propuestas prácticas:
1.- Modifica los valores de los semiejes para ver cómo el cociente entre el cubo del semieje mayor y el cuadrado del periodo permanece constante.
Autor: Carlos Marcén Giménez