Jugador Audaz

	JUGADOR AUDAZ
	Bloque: Probabilidad

JUGADOR AUDAZ

Un jugador necesita cinco euros y sólo tiene uno. Para conseguirlos juega a cara o cruz usando la estrategia más arriesgada: en cada jugada apuesta el máximo necesario para conseguir, si gana, los cinco euros lo más rápido posible. El juego termina si se consiguen los cinco euros o se pierde todo. Hay que calcular la probabilidad de obtener los cinco euros.

Aclaremos el enunciado: cuando tiene un euro, sólo puede apostar 1 y si gana tendrá 2; si pierde, se queda sin nada y se acaba el juego. Si tiene dos apuesta los 2, si gana, pasará a tener 4; y si pierde, pierde los dos y termina el juego. Si tiene tres, apostará 2, pues, si gana, alcanzará su objetivo, obtener 5 y termina el juego (si apuesta los 3 y gana, se pasa de 5); y si pierde, se queda con 1 y puede seguir jugando. Si tiene cuatro, apostará 1, si gana, alcanza su objetivo y se terminó el juego; y si pierde, se queda con 3 y puede seguir jugando.

Lo primero que observamos es que el árbol que representa al juego es un árbol infinito, pues la secuencia 1, 2, 4, 3, 1 (correspondiente a ganar, ganar, perder, perder) nos remite al estado inicial de nuestro jugador. Las figuras nos muestran dos momentos de la construcción de nuestro árbol.

Mejor, pues, que representar nuestro juego mediante un árbol es hacerlo utilizando un grafo dirigido en el cual los nodos serán los posibles estados del capital de nuestro jugador y las flechas las transiciones entre los diferentes estados.

Para que nuestro grafo este completo, deberíamos poner al lado de cada flecha la probabilidad que corresponde a cada una de las transiciones entre los estados, pero como la probabilidad es siempre la misma, 1/2, no se ha puesto. Esta misma observación es válida para el árbol.

Para intuir la probabilidad de ganar realizaremos una simulación de nuestro juego que consiste en ir introduciendo fichas por el nodo 1 y cuando en un nodo haya dos fichas, una tomará el camino de la flecha negra y la otra el de la roja. Si introducimos un número grande de fichas, dividiendo el número de fichas que han llegado al 5 entre el número de fichas que han llegado a 0 o a 5, obtendremos una aproximación de la probabilidad de ganar.

Realizar esta simulación con papel y lápiz (para dibujar el grafo y tomar nota del número de fichas que alcanzan los nodos 0 o 5) y fichas es latoso y largo, así pues lo realizaremos mediante una escena.

Esta no es la única simulación que podemos hacer. A continuación van otras dos.

Esta primera es una variación de la ya expuesta, sólo que con una única ficha que en cada nodo alternarán entre los dos caminos posibles, eso sí, la primera vez que llega a un nodo toma, aleatoriamente, uno de los dos caminos.

En esta segunda, cada vez que se llega a un nodo se toma uno de los dos caminos posibles de forma aleatoria simulando el lanzamiento de una moneda.

En seguida se ve que la frecuencia relativa de ganar se aproxima 0,2; es decir, 1/5. Es de esperar que la probabilidad de ganar sea 1/5 y a eso nos dedicaremos en los próximos párrafos.

Para calcular la probabilidad de ganar podemos recurrir al árbol del juego o al grafo. Si utilizamos el árbol nos aparecerá la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. Si utilizamos el grafo tendremos un sistema de ecuaciones lineales que será muy sencillo de resolver; éste es el método que utilizaremos.

Llamamos P₁, P₂, P₃, P₄ a la probabilidad de ganar si se tiene 1, 2, 3, 4 euros. Nosotros estamos interesados en averiguar P₁, pero de paso calcularemos P₂, P₃, P₄.

Observando el grafo se tienen las siguientes relaciones:

P₁=(1/2)·P₂ P₂=(1/2)·P₄ P₄=(1/2)+(1/2)·P₃ P₃=(1/2)+(1/2)·P₁

Sustituyendo P₂=(1/2)· P₄ en P₁=(1/2)·P₂, tenemos:

P₁=(1/4)·P₄

Ahora,

P₁=(1/4)·P₄=(1/4)·((1/2)+(1/2)·P₃)=(1/8)+(1/8)·P₃

Sólo queda poner en vez de P₃ su valor en función de P₁ y resulta:

P₁=(1/8)+(1/8)·((1/2)+(1/2)·P₁)=(1/8)+(1/16)+(1/16)·P₁=(3/16)+(1/16)·P₁

Multiplicando por 16 nos queda:

16·P₁=3+P₁, de donde, 15·P₁=3 y P₁=3/15=1/5

Una vez que sabemos P₁=1/5, podemos calcular P₂, P₃, P₄ utilizando las primeras relaciones o alguna de las intermedias, dando como resultado que P₂=2/5, P₃=3/5, P₄=4/5.

	Salvador Calvo-Fernández Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004