Las anteriores simulaciones han sido, desde mi punto de vista, atractivas. A continuación vamos a realizar una simulación mediante una tabla que no es tan "bonita" pero sí muy efectiva.

La idea es la siguiente: 

Supongamos que un jugador juega un número alto de veces, por ejemplo, 4096 o que juegan simultáneamente 4096 jugadores que a partir de un euro quieren obtener cinco (utilizaremos indistintamente una de estas dos ideas equivalentes). 

Lanza cada uno su moneda al aire y, en promedio, la mitad de los jugadores, 2048, habrán perdido (pasan al estado cero) y la otra mitad, 2048, pasan a tener dos euros.

Vuelven a lanzar la moneda y ahora 1024 se quedan con cero y 1024 llegan a cuatro (recordar que nuestros jugadores tenían dos euros).

Otra vez las monedas al aire y tenemos 512 jugadores que llegaron a cinco y 512 que llegan a tres (los jugadores se encontraban en el nodo cuatro). 

Una vez más las monedas nos manda 256 jugadores a cinco y 256 jugadores a 1 (tenían tres euros).

Hasta este momento hay 2048+1024=3072 jugadores con cero, 512+256=768 con cinco y 256 con un euros.

Ya podemos tener una aproximación de la probabilidad de alcanzar el éxito mediante el cálculo de la frecuencia de los que han llegado a cinco euros respecto a todos los que empezaron:

768 / 4096 = 0,1875

o respeto a todos los que han terminado:

768 / (768 + 3072) = 0,2

Este proceso lo continuaríamos con los 256 que siguen jugando, y cuando ya queden muy pocos jugando, los dos cocientes anteriores serán muy próximos y tendremos una idea de la probabilidad de ganar.

Obsérvese que esta idea es la que subyace en la primera simulación que hicimos, la de las dos fichas.

Los cálculos anteriores es mejor ordenarlos en una tabla y es lo que se ha hecho en la escena que viene a continuación hasta un máximo de 15 filas. Las frecuencias que aparecen se han realizado mediante el cociente del número de jugadores que han llegado a cero (cinco) entre el total de jugadores que han finalizado.

En la escena se calcula también el número medio de tiradas de una partida. Para realizarlo se computa el número total de tiradas de los jugadores que ya han terminado. Con el ejemplo de 4096, después del primer lanzamiento hay 2048 que terminan en un lanzamiento y llevamos 2048·1 lanzamientos; después del segundo hay 1024 que terminan y éstos han realizado un total de 1024·2 lanzamientos; los 512 que terminan ahora han realizado 512·3 lanzamientos; los siguientes 256 nos dan 256·4 lanzamientos; en total llevamos:

2048·1 + 1024·2 + 512·3 + 256·4 = 6656

que repartidos entre todos los que han llegado (768 + 3072 = 3840) nos da:

6656 / 3840 = 1,73333

Cuando prácticamente no queden jugadores jugando el cociente se aproximará al valor medio de tiradas por partida. En la escena llegamos hasta 15 rondas y dicho cociente es ya próximo a 2.

En la escena podemos modificar, mediante el control "Euros", el número de euros de partida y así poder explorar las diferentes frecuencias que se obtienen dependiendo de cual sea la cantidad inicial. También podemos modificar el número de jugadores. El control "Despl. Tabla" nos permite desplazarnos por todas las filas de la tabla. El control "Decimales" sirve para mostrar los resultados recogidos en la tabla con cero, uno o dos decimales.

De forma análoga a como se ha comentado para el Jugador Audaz, tenemos la tabla del Jugador Constante. Esta tiene hasta un total de 60 filas, pues con menos, los resultados no se aproximaban tanto como en el caso anterior; esto da una idea de como la estrategia audaz alcanza antes su objetivo.

Nuestro jugador se encuentra ahora jugando con un dado. Cuando tiene un euro decide jugárselo a obtener un múltiplo de 3, cuya probabilidad es 2/6 = 1/3; ahora bien, si gana, obtendrá dos euros más, con lo cual pasará a tener tres (pues la probabilidad de perder es el doble que la de ganar). Si tiene tres euros, apostará dos, ganando si obtiene un múltiplo de 2, probabilidad 3/6 = 1/2; si gana, alcanza su objetivo, cinco, si pierde vuelve a tener uno.

El grafo de esta nueva estrategia es el de la figura siguiente:

En este grafo sí se han puesto las probabilidades, pues ahora no son todas idénticas, como ocurría cuando se jugaba a cara y cruz.

Este es el trabajo a realizar:

• Crear una tabla análoga a las anteriores que nos lleve a intuir la probabilidad de ganar y el número medio de tiradas. La tabla se puede realizar a mano o mediante una Hoja de Cálculo.
  Observación: Tener en cuenta que si hay 300 jugadores con un euro, 200 se irán de vacío y 100 alcanzarán los 3, pues la probabilidad de perder es 2/3 y la de ganar 1/3.

• Utilizando las técnicas desarrolladas en las páginas anteriores, hallar la probabilidad de ganar y el promedio de tiradas.

De nuevo la probabilidad de ganar será 1/5, pero ahora el número medio de tiradas será 1,6. 

Propuesta final: Inventar otras estrategias y comprobar que la probabilidad de ganar, partiendo de un euro, es 1/5 siempre que se juegue de forma equitativa.

Aclaremos, aunque sea de manera informal, qué entendemos por juego equitativo. Si apuesto 2 euros a cara y cruz, ganando 3 si acierto (aparte de los dos que aposté) y perdiendo los 2 si fallo, esto sería un juego no equitativo al cual nos apuntaríamos todos. Basta con pensar que si jugamos unas 2000 veces, en promedio, ganaríamos 1000 veces (3000 euros de ganancias) y perderíamos otras 1000 (2000 de pérdidas), resultando 1000 de ganancias sin esfuerzo.

O sea, un juego de apuesta es equitativo o justo si después de jugar muchas partidas, nos quedamos como empezamos, con respecto al dinero, claro.

Una reflexión final: Nuestro jugador, en cada uno de los estados en que se encontraba, siempre jugaba de forma equitativa, luego es de esperar que su juego completo también sea equitativo. Como empezaba con un euro y quería terminar con cinco, su probabilidad de ganar debería ser 1/5, independientemente de la estrategia utilizada. Si tenía prisa, lo mejor es que tomara, por ejemplo, cuatro reyes y un as, barajara las cinco cartas, tomara una y apostara su euro a que la carta escogida es el as. En una tirada habría terminado.