El Teorema de Cavalieri es un resultado que va a permitir calcular volúmenes de determinados cuerpos irregulares a partir de expresiones ya conocidas. En la siguiente escena se intenta poner de manifiesto el contenido de dicho teorema. En dicha escena aparecen tres cuerpos, en principio distintos, y un parámetro "d", que permite variar las inclinaciones de los dos cuerpos situados a la derecha del cilindro. Así mismo aparecen tres planos paralelos y perpendiculares al cilindro recto. Estos tres planos determinan secciones situadas a la misma altura del plano de la base de los tres cuerpos. Los planos son "transparentes", así como los laterales de los cuerpos, para facilitar la visión de algunos elementos de la escena.

1.- Ve dando valores distintos a "d". ¿Qué cambios observas en los cuerpos mostrados?

2.- En cada cuerpo se observan tres secciones, dos correspondientes a la base inferior y a la base superior, respectivamente, y una tercera sección situada entre las dos anteriores. ¿Cómo son las áreas de dichas secciones entre si?. ¿Se mantiene esa relación al variar el valor de "d"?

3.- ¿Cómo son los valores de los volúmenes de los tres cuerpos entre si?

4.- Observa que los tres cuerpos, además, tienen la misma altura. Con este dato y los de las escenas anteriores intenta enunciar el Teorema o Principio de Cavalieri. Ayuda: Observa lo que tienen en común los tres cuerpos y recuerda que estamos en una unidad que trata sobre el volumen.

5.- Con la ayuda de un Buscador en Internet, comprueba el enunciado del Teorema de Cavalieri.

   Veamos una aplicación del Teorema de Cavalieri. En este apartado se intentará demostrar que el volumen de cualquier paralelepípedo, ya sea recto u oblicuo, se puede calcular con una misma expresión. A diferencia de la escena anterior la altura del plano que determina la sección intermedia puede modificarse mediante el parámetro Sección. Además se puede modificar la altura de los paralelepípedos representados.

6.- Ve modificando el valor del parámetro "d" y observa los resultados de las modificaciones. Varía la altura de los paralelepípedos y la del corte de la sección intermedia. ¿Son todas las secciones de la misma área?. ¿Cómo son entre si los volúmenes de ambos paralelepípedos?.

7.- ¿Qué tipo de cuerpo es el paralelepípedo que se muestra a la izquierda de la escena?. ¿Qué tipo de paralelepípedo es el de la derecha?.

8.- Para poder calcular el volumen de un paralelepípedo oblicuo, ¿qué datos deberías conocer?,¿cómo hallarías ese volumen?.

9.- Un paralelepípedo oblicuo tiene 10 cm de altura. Sus aristas básicas son de 3 cm y 5 cm respectivamente. ¿Qué volumen ocupa?.

10.- Un paralelepípedo oblicuo ocupa un volumen de 350 cm³. Si su altura es de 7 cm, ¿cuál es el área de su base?

   A la vista de lo observado en los párrafos precedentes es lógico pensar que el Teorema de Cavalieri también se pueda aplicar a otros cuerpos. Hay muchos casos, y con figuras muy complejas, en las que este teorema es de gran ayuda. Para acabar este párrafo veamos su aplicación al caso de pirámides oblicuas. Para simplificar, en la escena solamente se visualizan pirámides de base cuadrada.

11.- Comprueba, manipulando los parámetros de la escena, que se dan los supuestos que permiten aplicar el teorema de Cavalieri, es decir: alturas iguales y secciones de igual área a la misma altura.

12.- Saca conclusiones respecto al cálculo del volumen de pirámides truncadas.

13.- Si en lugar de pirámides cuadradas fueran de base hexagonal, sucedería lo mismo?.

14.- Rizando un poco el rizo: ¿cómo podrías calcular el volumen de un cono oblicuo?.