Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x² + 1

Cuando la ecuación sólo contiene una letra hablamos de ecuaciones con una incógnita. (Habitualmente, la x, pero no necesariamente).

Por ejemplo: x² + 1 = x + 4

En este tema vamos a estudiar, precisamente, las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Ejercicio 1

Supongamos que queremos resolver la ecuación : 3(x-1) = 4 - 2(x+1).

Como ya sabrás, resolver una ecuación es encontrar los valores de x tales que, al ser sustituidos en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, hagan que la igualdad sea cierta.

En el ejemplo podemos probar con un valor:

Si x = 2, llegaríamos a 3 = -2 que es falso, luego 2 no es una solución,

Si x = 1 llegaríamos a 0 = 0, que sí es cierto, luego hemos encontrado una solución de la ecuación. Veremos más adelante que en algún caso puede haber más soluciones.

Numéricamente, como seguramente sabrás, la ecuación se resuelve "despejando" la x. Esto consiste en realizar las operaciones indicadas e ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así en el ejemplo se procede:

3x - 3 = 4 - 2x - 2 (atención al signo cuando haya paréntesis)

3x + 2x =3 + 4 - 2 ; 5x = 5; x = 5/5 ; x = 1 que es la solución que ya habíamos encontrado antes.

En este caso hemos resuelto la ecuación numéricamente. Veamos a continuación una interpretación gráfica de la solución de la ecuación.

En la escena adjunta aparece la ecuación que se quiere resolver escrita en color rojo en la parte inferior. La solución de la ecuación viene representada por la línea recta vertical, también de color rojo.

El valor de la solución es el valor de la abscisa del punto en el que esa recta corta al eje X.

Desplaza el punto rojo central con el ratón hasta la recta vertical para hallar la solución.

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio siguiente:

3x + 1 = x - 2.

a) Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:

3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"

b) Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 que es la solución. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".

En ecuaciones más complicadas puede ocurrir también:

y suprimiendo los denominadores ya estamos como en el caso anterior: 2(x - 2) - 3(x + 3) = 5(1 - 2x)

Ejercicio 2.

Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación:2(x-5) = -2(x-3). Después comprueba tu solución en la escena adjunta siguiendo las instrucciones que se te dan en el recuadro de abajo.

Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. (Observa que debes poner el símbolo * cada vez que quieras hacer un producto y mucho ojo con los paréntesis que pueden ser necesarios aunque no estén escritos). Pulsa intro y te aparecerá la solución de la ecuación en forma de línea roja vertical. Desplaza el punto rojo central con el ratón hasta la recta vertical para hallar la solución. El valor obtenido debe coincidir con el que tú has hallado en tu cuaderno.

Ejercicio 3.

Resuelve en tu cuaderno la ecuación x/2 + x/3 = 5. Después utiliza la escena anterior para comprobar el resultado.