Ejercicio 4

Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Numéricamente ya sabes como se resuelve: "despejando" la x: ya lo hicimos antes y obtuvimos x = -1,5. Gráficamente, esto producía una línea recta vertical de abscisa -1,5.

Ahora vamos a dar una interpretación geométrica a esta ecuación distinta a la de los ejercicios anteriores.

Si pasamos todos los términos de la ecuación al primer miembro y simplificamos el resultado se obtiene la ecuación:

2x + 3 = 0, ecuación equivalente a la de partida, o sea que tiene la misma solución.

Si al primer miembro de la ecuación le llamamos "y" se obtiene la función y = 2x+3, quizás sepas que se trata de una función afín y su representación gráfica es una recta como la que se ve en la escena siguiente.

Como puede verse la recta corta al eje X en un punto. La "abscisa x" de ese punto es la solución de la ecuación.

Seguramente observarás que la solución es x = -1,5

Mueve el punto destacado de la recta hasta cortar al eje X. El valor que muestre el punto en ese momento es la solución de la ecuación.

Así pues, al pasar todos los términos de una ecuación de primer grado al primer miembro se obtiene una expresión semejante a ésta: ax + b = 0.

Si llamamos "y" al primer miembro de esta nueva ecuación obtenemos la expresión general de una función afín:

y = ax + b

Como hemos visto antes, esta función afín está representada por una línea recta que corta al eje X en un punto. La abscisa de este punto es la solución de la ecuación inicial.

En la próxima escena veremos que las dos interpretaciones gráficas vistas hasta ahora nos llevan a la misma solución.

Ejercicio 5.

Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones:

a) 1-3x = 2x - 9
b) x/2 - x/3 = 1

En este caso debes resolverlas de forma que pasen todos los términos al primer miembro y el segundo miembro quede igual a 0. De esta forma quedará una expresión del tipo ax+b=0 de la que podemos sacar la función afín y=ax+b.

Por ejemplo, la primera ecuación debe quedarte en algún momento así: -5x+10=0 y la función afín correspondiente será: y=-5x+10.

Después comprueba las soluciones obtenidas en la escena siguiente. Lee atentamente las instrucciones de dicha escena.

En la parte inferior de la escena aparecen dos cajetines: en el de la izquierda y en color rojo se escribe la función afín obtenida por el procedimiento descrito antes; en el de la derecha y en color azul debes escribir la ecuación inicial tal cual y pulsar intro. Los valores a y b de la función afín deben introducirse a través de los controles inferiores. La línea vertical azul nos da la solución con la primera interpretación; la línea roja nos da la solución con la segunda interpretación. Comprueba que de ambas maneras se obtiene la misma solución.

En general, si se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro, aunque no se simplifique, la expresión que se obtiene corresponde a la misma función afín (aunque no expresada como y = ax+b) que la que se obtiene al simplificar. Por ejemplo:

Ejercicio 6.

Resolver: x/2 + x/4 = 3.

Pasando todo al primer miembro se obtiene x/2 + x/4 - 3 = 0 y la función: y = x/2 + x/4 -3 que no hace falta simplificar.

En la siguiente escena puedes observarla y ver el punto de corte de la misma con el eje X: x = 4, que corresponde a la solución de la ecuación.

En esta pantalla se puede modificar la expresión de la ecuación, sin más que situarse en la ventana donde se ve su expresión, borrar y escribir de nuevo. (recuérdese que el símbolo de la multiplicación es * y la división / ).