PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1.-Concepto y término general

1.1.-La fábrica de caramelos de mi amigo Paco vende 7000 Kg de caramelos el primer año que se instaló y cada año triplica sus ventas, ¿cuántos Kg venderá el noveno año de su existencia? ¿cuántos años habrán pasado para que sus ventas superen el millón de Kg?

• Completa en tu cuaderno la siguiente tabla (añadiendo o eliminando columnas si te hace falta)  para responder a las preguntas :

• Observa los valores que acabas de obtener: Forman una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por un número fijo; este tipo de sucesión se llama PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. El número fijo por el  que multiplicamos  a cada término para obtener el siguiente, se llama razón de la progresión. 

1.2.- Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades con los términos de una progresión geométrica:

a2= a1*r  ;   a3=a2*r=a1*r²  ;   a4=a3*r=a1*r²=a1*r³ ;  a5= ..................;  a6=................. ; an= ?

• A la expresión de an que acabas de obtener se le llama término general de la progresión.

 Fijando los valores de los parámetros a1 y r en esta escena (mediante las flechas azul y roja) fijas las características de una progresión geométrica determinada, y podrás obtener todos los términos de la sucesión que quieras al variar el parámetro n.

Escribe en tu cuaderno:

1.3.- La resolución de la actividad 1.1 utilizando esta escena.

1.4.-Los cinco primeros términos y los términos a8, a10 y a28  de una progresión geométrica en la que:  A) a1=7, r=4       B) a1= 230, r=1/2

1.5.- ¿En qué caso la p. geométrica resultante es creciente(sus términos son cada vez mayores al aumentar la n) y en cuál es decreciente ( sus términos son cada vez menores al aumentar la n)?. Pon tres ejemplos de cada caso calculando al menos cuatro términos de cada uno de los ejemplos.

2. Representación cartesiana

Como las progresiones geométricas son funciones cuadráticas, los términos crecen o decrecen muy rápidamente. según sea la razón, la función se acercará o alejará de los ejes de ordenadas y abscisas respectivamente.

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3. Interpolación de medios proporcionales

La bacteria productora de las anginas se reproduce proporcionalmente cada media hora; un científico deposita una bacteria en un medio de cultivo a las 12  de la mañana  y cuando hace el recuento de las 5 de la tarde ya hay 1024 bacterias, ¿En qué proporción ha ido aumentando su número?

• Completa en tu cuaderno la siguiente tabla :

• Observa los resultados obtenidos: ¿cuál es la relación entre ellos? ¿qué tipo de sucesión constituyen? ¿por qué?

• Anota lo que has hecho para obtener el nº correspondiente a cada hora. ¿Cómo has hallado la razón de proporcionalidad que debe existir entre dos valores sucesivos?

• Generaliza: Halla una expresión para la razón de la progresión que se forma, en función de los términos primero y último y del nº de términos intercalados.

• Intercalar un número m de términos entre dos conocidos, de modo que todos ellos formen una progresión geométrica  se llama INTERPOLAR; y a los m términos interpolados se les llama medios proporcionales.

Mediante esta escena puedes hallar la razón correspondiente a la progresión que se forma al interpolar m medios proporcionales entre a1 y an. Mediante las flechas puedes asignar nuevos valores a a1, an y m cambiando así las condiciones del problema.

3.1.- Utilizando esta escena, interpola 4 medios proporcionales entre 5 y 1215; 7 medios entre 5 y 1953125. Anota en tu cuaderno las progresiones que se forman.

3.2.-¿Cuántos elementos tengo que interpolar entre 2 y 320 para que se forme una progresión con r=1.30 ? Escribe dicha progresión en tu cuaderno

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Mª Antonia Costas Rojo