9. La derivada de la función seno

En la escena, se muestra el Trazador de Derivadas, aplicado a la función f(x) = senx. De nuevo, vemos que la pendiente de la recta secante es numéricamente igual a la longitud del segmento rojo, por semejanza de triángulos. Si este segmento rojo lo desplazamos paralelamente hasta que el extremo inferior coincida con el punto x, resultará que la ordenada del punto P representa la pendiente de la recta secante, en el punto x.

Obsérvese que esta pendiente representa numéricamente el cociente de diferencias 

f (x+h) - f (x)
h

en x = 0.2, cuando h = 1.3

  1. Modifique en pantalla el valor de h, hasta que tome el valor 0.000001. Al decrecer el valor de h, observará que la recta secante se aproxima a la recta tangente en el punto (x,f(x)), y la ordenada del punto P es una buena aproximación de la pendiente de la recta tangente; es decir, LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO en el punto x, cuyo valor se expresa numéricamente en pantalla.

  2. Manteniendo h = 0.000001, modifique en pantalla el valor de x para observar, gráfica y numéricamente, diferentes valores de la derivada, en el punto deseado.

  3. ¿Para qué valores de x se obtiene que f '(x) = 0 ?  ¿y  f '(x) = 1?  ¿y  f '(x) = -1?

  4. El lugar geométrico que describe el punto P es la función derivada de f(x) = senx. ¿Reconoce este lugar geométrico? Haga zoom para apreciar el trazo completo del lugar geométrico.

    Nota: Al asignar manualmente valores a x, puede hacerlo en términos de p. Por ejemplo para introducir el valor de  p/2, teclee  pi/2.

 

Identificación visual de la derivada

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.1  Identificación  visual de la derivada

En esta escena se muestra la función f(x) = senx,  la recta tangente el el punto (x, f(x)) y el segmento AP. Como siempre, la ordenada del punto P, representa  aproximadamente a  f '(x), la derivada de la función en el punto x (pendiente de la recta tangente). También se ha construido el segmento BQ paralelo a AP y situado  p/2 unidades a su derecha .

  1. Modifique en pantalla el valor de x y observe el comportamiento del segmento BQ.

  2. Nótese que el punto Q siempre se encuentra sobre la gráfica de la función f(x) = senx.

  3. Lo anterior significa que la pendiente de la tangente,  m  = f '(x) =  sen(x + p/2) 

  4. Utilizando la conocida identidad trigonométrica: sen(a + b) = sena cosb +senb cosa, obtenemos:

  5. f '(x) = m  = sen(x + p/2) = cosx, es decir: La derivada de la función seno es la función coseno.

Graficando la derivada

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.2  Graficando la derivada

Modifique en pantalla el valor de x, recorriéndolo sobre su dominio o haciendo uso del botón "Animar" para que el punto P trace la gráfica de la función derivada del seno de x. Cerciórese que h = 0.0001 pues P grafica la función pendiente de secantes, la cual es aproximadamente igual a la función pendiente de tangentes (función derivada) para valores pequeños de h.

La derivada de la función coseno