FUNCIÓN EXPONENCIAL
Bloque: Análisis
 
1. ESTUDIO DE LA FUNCIÓN  ax
La siguiente escena  muestra la gráfica de esta función y el alumno puede explorar sus valores modificando el valor de x. En la siguiente escena puedes estudiar las funciones exponenciales ax para diferentes valores de a.
1.- Estudia la función 2x. Haz una tabla de valores para valores enteros positivos de x. Observa que en este caso se trata de una función que crece mucho al aumentar el valor de x.
Fijando el valor del control a mueve el control x para elaborar las tablas de valores.

2.- Haz una tabla de valores para valores enteros negativos de x. Observa que en este caso se trata de una función que decrece mucho.

3.-¿Qué significa 2x cuando x no es un entero?

  La definición general se hace para números racionales m/n con m y n enteros, y luego se extiende por continuidad a todos los números reales. 2m/n se define como la raíz n-ésima de 2m. Esta definición hace de 2x una función muy difícil de evaluar para valores de x que no sean enteros o fracciones muy sencillas.

4.- Observa en la escena estos problemas.
2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN ax

La derivada de las funciones exponenciales se puede calcular como el límite cuando h tiende a cero de

(ax+h-ax)/h

que es igual a a^x multiplicado por el límite cuando h tiende a cero de

(ah-1)/h

Este aparentemente sencillo límite es difícil de calcular. La siguiente escena nos permite estimar su valor basándonos en los valores h=1/n para n grande. La gráfica que aparece es la de la función (ax-1)/x.
1.- Varía el valor del control a y observa en los textos de la parte superior de la escena , el valor del limite de (ah-1)/h cuando h tiende a cero. Comprueba con tu calculadora que este valor es Ln a siendo a el valor del control a.

2.-Varía el valor del control n y observa cómo a medida que n aumenta, el valor de la función y =(ax-1)/x coincide con el límite.

En la  función y = (ax-1)/x se utilizan valores "pequeños" de x, de la forma h= 1/n.
El botón Inicio restaura los valores iniciales.

3.-Para a =2 encuentra el valor de n a partir del cual el error cometido en la estimación es menor que una milésima.
4.-Teniendo en cuenta lo anterior halla la función derivada de la función y = ax     para a=3. 

5.- Buscar el número a para el cual el límite es iguala 1.00000. Dicho número es el famoso número e que encontraremos muchas veces en esta unidad.
3. LA FUNCIÓN ax  Y SU DERIVADA

La siguiente escena muestra la función ax para diversos valores de a y también una aproximación de su derivada (se está usando h=0.000001). 

1.-Comprueba que cuando a=2.72818 la función ax y su derivada parecen coincidir.

Para variar el valor de a puedes presionar los pulsadores rojo y azul de a o escribir el número en la celda blanca y pulsar la tecla Intro.
Utiliza el cambio de escala o mueve los ejes cuando lo necesites.
4. CÁLCULO DEL NÚMERO e

En realidad existe un número, el famoso número e, para el cual la función ex es igual a su derivada. La función exponencial se define usando este número como exp(x)=ex. El valor de e se ha calculado con muchos decimales. Esta es el valor de e hasta el vigésimo tercer decimal:

e=2.71828182845904523532874

En la mayoría de los cálculos se utilizan solo los primeros cinco decimales, o sea que se usa

e=2.71828

Vamos a ver una manera intuitiva de calcular e basada en que la derivada de ex debe ser igual a ex.   La siguiente escena permite obtener buenas estimaciones del número e como el límite de (1+1/n)n cuando n tiende a infinito.

1.- Comprueba en tu cuaderno que para que el límite cuando h tiende a cero de (ex+h-ex)/h sea igual a ex, es necesario y suficiente que el límite cuando h tiende a cero de (eh-1)/h sea igual a 1.

El límite cuando h tiende a cero de (ex+h-ex)/h es igual a ex multiplicado por el límite cuando h tiende a cero de (eh-1)/h. 

2.-Obtén valores pequeños de h (incrementando n) y mira en la escena cómo el valor de  e es más o menos igual a (1+h)1/h.

Por tanto, e es igual al límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)n. 
5. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL EN LA FÍSICA

La función exponencial ex sigue siendo muy importante en la ciencia por  razones  relacionadas con la primera propiedad que estudiamos de ella, la de ser igual a su derivada. Este hecho hace que la función exponencial aparezca continuamente en la descripción de fenómenos físicos como por ejemplo, el decaimiento radiactivo.

La siguiente escena muestra el comportamiento de un material radiactivo con el paso del tiempo.

       
           
  José Luis Abreu León
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001