LA FUNCIÓN LOGARÍTMO
Bloque: Análisis
 
1. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO
La función logaritmo se puede definir como la función inversa de la exponencial. Es decir: lnx=y si x=ey. La escena que sigue muestra las gráficas de las funciones exponencial y logaritmo. A la función logaritmo natural  también se le llama logaritmo base e o logaritmo Neperiano.
1.- Mueve el control x  para elaborar una tabla de valores de cada una de las  funciones y=lnx  y    x=ey. Comprueba con las dos tablas elaboradas la definición de función logaritmo natural como función inversa de la función exponencial.

2.-¿Cuáles son las características de las dos funciones ?. ¿Qué  relación que hay entre ambas?.

3.-Observa en la escena que la gráfica del logaritmo es la reflexión "simétrica" de la gráfica de la exponencial con respecto a la recta y=x.

2. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARITMO BASE a

Se puede definir una función logaritmo para cada función exponencial ax. Para distinguir unas de otras, la función inversa de ax se llama la función logaritmo base a. 

La siguiente escena muestra todas las funciones exponenciales ax y las correspondientes funciones logaritmo base a que denotamos por logax.
1- Representa en tu cuaderno las funciones log3x y log1/2x.

2.-Comprueba en la escena que la representación es correcta y extrae de ella la tabla de la  función exponencial correspondiente.

 

3.-Reproduce en tu cuaderno la siguiente demostración, procurando entender todos los pasos. Dicha demostración nos permite relacionar logaritmos naturales con logaritmos base a 

Vamos a ver que la relación es: logax=lnx/lna.

En efecto, a=elna y por lo tanto, usando las propiedades de la exponenciación:

a(lnx/lna)=(elna)(lnx/lna)=elna·(lnx/lna)=elnx=x.
3. PROPIEDAD DE LOS LOGARITMOS

Los logaritmos, inventados por John Neper (1550-1617),nacieron para resolver los complejos cálculos astronómicos de la época. Tuvieron gran importancia en el pasado para simplificar los cálculos numéricos. La razón es que mediante los logaritmos se puede convertir una multiplicación en una simple suma. 

La escena muestra la propiedad :

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

1.-Asigna a   x1 y x2  los valores 3 y 5 respectivamente . Comprueba que  se cumple la propiedad 

log( 3 ·5) = log 3+ log 5

En la escena y1 = ln x1 y y2=ln x2. Por tanto comprobar la propiedad es comprobar que :

ln(x1·x2)=lnx1+lnx2=y1+y2 y esto es equivalente (por la definición de función logaritmo) a comprobar que:

   x1·x2 = ey1+y2.
Para mover los valores puedes presionar los pulsadores rojo y azul de x1 e x2 o escribir el número en la celda blanca y pulsar la tecla Intro.
2.-En los tiempos anteriores a los ordenadores se construían tablas de logaritmos. Si se querían multiplicar los números x1 y x2, se buscaban en la tabla sus logaritmos y1 y y2, se sumaban obteniendo un valor y y se buscaba en la tabla el valor de x para el cual lnx=y. Entonces x es igual al producto x1·x2. Da dos valores a x1 y a x2 y haz lo que hacían en otra época para hallar el producto.
4. OTRA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LOGARITMO 

Finalmente, estudiaremos la función logaritmo independientemente de la exponencial. Supongamos que existe una función f(x) que tiene la propiedad de que

f(x·y)=f(x)+f(y)

para todos los valores positivos de x e y. Es fácil ver que esta sola propiedad implica que:

f(1)=0 y f(xn)=n·f(x)

Por lo tanto, escribiendo la expresión para estimar la derivada con un incremento h=x/n, obtenemos:

(f(x+x/n)-f(x))/(x/n)=(1/x)f((1+1/n)n)

Tomando el límite cuando n tiende a infinito, obtenemos que la derivada de f´(x) es igual a f(e)/x donde

e=lim (1+1/n)n
n->infinito

En resumen:

f´(x)=f(e)/x

Este resultado nos dice que las funciones que satisfacen f(x·y)=f(x)+f(x) tienen todas la misma derivada, excepto por un factor multiplicativo. Es natural entonces definir la función logaritmo como la integral (de 1 a x) de la función 1/x y entonces resulta que

(lnx)´=1/x

y por lo tanto

lne=1

Por eso se dice que e es la base de los logaritmos naturales, también llamados Neperianos. 

La  escena nos muestra las gráficas de las funciones lnx y 1/x .

1.-Escribe en tu cuaderno la demostración anterior procurando entender todos los pasos.

2.- Comprueba que la estimación de la derivada (ln(x+h)-lnx)/h es casi igual a 1/x para el valor de h=0.000001

Para mover los valores del control x puedes presionar los pulsadores rojo y azul correspondientes o escribir el número en la celda blanca y pulsar la tecla Intro.

 
 
       
           
  José Luis Abreu León
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001