FABRICANDO ORDENADORES
Un problema de programación lineal
El enunciado.
Imagina que diriges una pequeña empresa que ensambla y vende dos tipos de ordenadores: el modelo A y el modelo B. Esta fábrica sólo puede producir 360 ordenadores cada semana.
En tu fábrica estos son los empleados y sus características:
Los datos más importantes relativos a la fabricación de ordenadores son los siguientes:
En la actualidad estáis fabricando y vendiendo semanalmente 100 ordenadores del modelo A y 200 del modelo B.
Comprensión del enunciado.
En principio, vamos a estudiar cuales son los gastos y los ingresos que tenemos, dependiendo del número de ordenadores que fabriquemos de cada clase. Manipulando los botones correspondientes a las cantidades de ordenadores ("x" e "y"), de cada modelo que se fabrican, podemos reflexionar sobre la variación de ingresos, gastos y beneficios.
¿Encuentras situaciones en las que el negocio es rentable? Podrías intuir cuáles son las que más te podrían interesar.
En el momento actual de producción de la fábrica:
¿Cuánto pagas en sueldos?
¿Cuánto pagas por los componentes?
¿Cuáles son los ingresos semanales?
¿Qué beneficio obtienes?
Piensas que se puede mejorar la situación actual de tu negocio.
Las restricciones.
Parece claro, después de lo anterior, que cuantos más ordenadores fabriques (de los dos tipos), más beneficios obtendrás. Pero no puedes fabricar todos los que quieras puesto que hay unas limitaciones que tienes que tener en cuenta. A estas condiciones que tienes que cumplir les llamaremos restricciones. Las restricciones las representamos mediante inecuaciones:
Estas restricciones se pueden representar en unos ejes coordenados y podemos determinar la región que satisface las tres inecuaciones.
La solución.
La región de validez es la región poligonal que has encontrado y que cumple todas las restricciones que tiene el enunciado. Cada punto P(x,y) ("x" es el nº de ordenadores del modelo A e "y" del B que se fabrican) de esa región puede ser solución del problema, pero te interesa encontrar la solución óptima que te produzca el máximo beneficio posible.
La solución gráfica.
Como habrás observado, la función que te da los beneficios es de la forma 8.000X+4.800Y=k donde "k" es una constante, que es mayor cuando los beneficios son mayores. A esta función le llamamos función objetivo y es la que queremos que sea máxima. Al variar "k" obtenemos una familia de rectas paralelas. Nos interesa localizar el punto de la región de validez que pertenece a una de esas rectas; la del mayor valor de k posible. Obtendremos el punto P que nos da el máximo beneficio.
Autor: Carlos Martínez Sánchez.