DISEÑANDO UN DEPÓSITO DE AGUA

Un problema de optimización

Enunciado:

Una pieza cuadrada de metal (12x12 m.) debe ser convertida en un depósito de agua sin tapa superior, cortando cuadrados en sus cuatro esquinas, y levantando los cuatro rectángulos resultantes, para formar los laterales del depósito.

¿De qué tamaño deberían cortarse las cuatro esquinas para que el volumen del depósito resultante fuera el mayor posible?

Comprensión del problema:

Imagínate que cortas unos cuadrados de distintos tamaños (de lado "x") de las esquinas de la pieza de metal (cuadrados azules). Pliégala mentalmente.

• Observa lo que ocurre para distintos valores de "x".
• El volumen resultante, ¿será grande o pequeño? ¿Por qué?
• ¿Cuáles serán los cuadrados más grandes que puedes cortar?¿Y los más pequeños?
• ¿Cómo será el volumen resultante en los distintos casos? Describe la situación con tus propias palabras.

El volumen del depósito.

Para hallar la expresión que me da el volumen del depósito, imaginamos que cortamos un cuadrado de lado "x" en cada esquina de la pieza de metal y observamos lo que ocurre para distintos valores de "x".

• Piensa cómo va cambiando la forma del depósito para los distintos valores de "x".
• Describe cómo cambian sus dimensiones. Puedes escribir su valor en función de "x".
• Busca una expresión para el volumen del recipiente resultante.

Variación del volumen del depósito.

Una vez que hemos cortado los cuatro cuadrados, podemos construir el depósito. Observa cómo cambia su forma al ir variando la longitud del lado del cuadrado que recortamos:

• ¿Qué lado pueden tener los cuadrados que cortamos?
• ¿Entre qué valores piensas que puede variar el volumen?
• De acuerdo con tus impresiones, dibuja una gráfica aproximada que relacione el volumen del depósito (en el eje OY) con el lado del cuadrado que recortamos (en el eje OX).
• Describe la gráfica con tus palabras.

La tabla de datos.

Observa conjuntamente cómo varía el tamaño del depósito en función de los trozos de plancha que recortamos (usa los botones escala y eje OX si son necesarios):

• Construye una tabla de valores que relacione "x" con "V" (Usando un incremento de x de 0.5).
• Piensas que se alcanzará un volumen máximo para algún valor de "x".

La representación gráfica.

A continuación podemos obtener una gráfica con los puntos obtenidos antes. Cambia los valores de "x" y observa lo que pasa:

• Representa los distintos valores de "x" y observa la gráfica resultante. Comenta su crecimiento y decrecimiento.¿Cuál es su dominio?¿Qué sentido tienen los valores extremos del dominio?¿Tendrá un máximo?¿Y mínimo?

• Usando la tabla de valores y con ayuda de la gráfica obtén el volumen máximo del depósito. Calcula más valores si fuese necesario.

• ¿De qué lado tenemos que cortar las esquinas?

• Detalla las dimensiones que tendrá el recipiente de volumen máximo.

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Autor: Carlos Martínez Sánchez.