Análisis.

Bachillerato de la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud o Tecnológico

Entre las aplicaciones prácticas del concepto de diferencial de una función vamos a tratar aquí los relacionados con la utilización de dos resultados obtenidos en las líneas anteriores:

• la expresión Δy = f ´(x).Δx +  ε .Δx en la ε . Δx es un infinitésimo de orden superior a f ´(x) .Δx por lo que se puede considerar despreciable cuando  Δx → 0, y

• el teorema según el cual Δy y dy son infinitésimos equivalentes, si f´(x) ≠ 0 con Δx→ 0.

CASO 1º

En la expresión Δy = f ´(x).Δx +  ε .Δx, podemos escribir  Δy = f(x+Δx) - f(x) y prescindir del sumando ε .Δx, con lo que nos queda, para un valor fijo x = a,

Δy = f(a+Δx) - f(a) ≈ f ´(a).Δx, de donde

   f(a+Δx) ≈ f(a) + f ´(a).Δx = f(a) + dy ,

igualdad que es útil para obtener valores aproximados de f para valores próximos a x=a, utilizando para ello f(a) y df(a) con un determinado Δx.

Gráficamente, lo que estamos haciendo es sustituir la ordenada de la imagen de a+Δx sobre la gráfica de la función por la ordenada de su imagen sobre la gráfica de la tangente, despreciando el infinitésimo ε .Δx.

Ejemplo 1.

Hallar un valor aproximado de sen 33º .

Se trata de aplicar la expresión anterior a la función f(x) = sen x, con a = 30º ( π/6 rad)  e  Δx = 3º ( 3π/180 rad).

Es decir,  sen 33º = sen (30º + 3º) = sen ( π/6 + 3π/180 ) ≈ sen π/6 + (sen π/6)´ . (3π/180) = sen π/6 + cos π/6 . (3π/180) =

Ejemplo 2.

Hallar un valor aproximado de cotg 58º .

Se trata de aplicar la expresión anterior a la función f(x) = cotg x, con a = 60º ( π/3 rad)  e  Δx = -2º ( -2π/180 rad), es decir, para un Δx negativo.

Tendremos,  cotg 58º = cotg [60º + (-2º)] = cotg [ π/3 + (-2π/180 )] ≈ cotg π/3 - 1/(sen² π/6) . (-2π/180) =

Ejemplo 3.

Hallar un valor aproximado de

Consideremos la función f(x) = x^1/3, el valor a = 0,125 = 1/8 y el Δx = 0,02:

=     f (0,125 + 0,02) = f(1/8) + f ´(1/8) . 0,02     =

Ejemplo 4.

Hallar un valor aproximado de 0,82²

Consideremos la función f(x) = x², el valor a = 0,8 y el Δx = 0,02: 0,82²  =  f(0,8 + 0,02) = f(0,8) + f´(0,8) . 0,02 =

= 0,64 + 2.0,8.0,02 = 0,672

CASO 2º

Anteriormente se ha enunciado el teorema que dice que

dy e Δy son infinitésimos equivalentes en x=a cuando Δx →  0, si f´(a) ≠ 0

por lo que, aplicando el teorema de sustitución de infinitésimos equivalentes, podremos sustituir Δy por dy en las condiciones adecuadas, con el objeto de simplificar el problema.

Ejemplo 5.

Un depósito tiene forma de esfera de 3 m de radio. Estimar cuánto aumentará el volumen del depósito si el radio aumenta 5 cm.

El volumen de la esfera viene dado por

Se trata de hallar ΔV para Δr = 5 cm, para lo cual hallaremos ΔV ≈ dV = V´(r) . dr = 4π.r² . dr = 4π.9.0,05 = 5,655 m³

Ejemplo 6.

Se sabe que en determinadas placas cuadradas para circuitos impresos, con el aumento de temperatura en el funcionamiento del procesador se produce una dilatación lineal de los lados de las placas del 0,4 %. El lado de cada placa mide 7 mm. Calcular aproximadamente el aumento en el área de la placa.

El área de la placa es A = l². Por tanto hemos de hallar ΔA para Δl = 0,028 mm (0,4 % de 7 mm) para lo que calcularemos dA:

ΔA ≈ dA = A´(l) . dl = 2.l.dl = 2.7.0,028 = 0,392 mm². Es decir, el área aumenta aproximadamente un 0,8 %.

Ejemplo 7.

Un instrumento de medida que aproxima sólo hasta los milímetros proporciona para el radio de un círculo una longitud de 14 m. Estimar el error absoluto máximo esperable en el cálculo del área del círculo.

El área del círculo A = π.r². Por tanto hemos de hallar ΔA para Δr = 0,001 mm, para lo que calcularemos dA:

Error absoluto máximo esperable = ΔA ≈ dA = A´(r) . dr = 2.π.r.dr = 2.π.14.0,001 = 0,08796 m².