Transformaciones de funciones:
Dilataciones.
4º ESO B.
 
1.Dilatación vertical  de una función :     y = kf(x) 

La bicicleta

Disponemos de una bicicleta que tiene una rueda de 40 cm de radio y un pedal de 20 cm de radio, sincronizados de modo que para cada vuelta del pedal la rueda da exactamente una vuelta.

Un ciclista está subiendo una pendiente y da una pedalada cada 6.28 segundos. 

Suponiendo que cuando comienza a subir la cuesta los dos pedales y la válvula de la rueda se encuentran  a la misma altura, confecciona dos tablas de valores que expresen la altura de uno de los pedales y de la válvula en función del tiempo

Tiempo (seg) 

0

         1.57         3.14         4.71         6.28                                
Altura del pedal (cm)      

0

         20         0         -20         0                                

 

Tiempo (seg) 

0

   

   

1.57

   

   

3.14

   

   

4.71

    

    

6.28

   

   

   

   

   

   

   

   
Altura de la válvula (cm)

0

 

   

40

   

   

0

   

   

-40

   

   

0

   

   

   

   

   

   

   

   

Representa gráficamente ambas tablas en unos mismos ejes coordenados ¿Qué observas?

Representa gráficamente la primera tabla en unos ejes coordenados en los que las unidades del eje OY sean doble de las del eje OX. ¿Qué observas?

  • En este apartado vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = kf(x) , siendo k un número real positivo.

En la escena se muestra la gráfica de la función f(x)=sen(x) en azul y en rojo la función y=ksen(x)

1.1 Mueve el punto naranja a lo largo de la función.¿Qué observas?

1.2 Dale al parámetro k valores  positivos y observa qué sucede.

1.3 Modifica en la escena las funciones y=f(x), y=kf(x) mediante:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x)  i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Para cada gráfica obtén una familia de funciones variando los valores del parámetro k  y copia las representaciones de cada una de esta familias de curvas en tu cuaderno.

 

Observa que si 0<k<1, la gráfica se encoge verticalmente, y si k>1 se dilata.

 El efecto de una dilatación vertical es el mismo que el de un cambio de escala  en el eje OY

2.Dilatación horizontal de una función :     y = f(kx)

La bicicleta (2)

El ciclista del ejemplo anterior termina de subir la cuesta y empieza a pedalear a  un ritmo de 2 pedaladas cada 6.28 segundos.

Haz una tabla de valores que represente en función del tiempo la altura a la que se encuentra ahora la válvula de la rueda.

Tiempo (seg) 

0

   

   

1.57

   

   

3.14

   

   

4.71

    

    

6.28

   

   

   

   

   

   

   

   
Altura de la válvula (cm)

0

 

   

0

   

   

0

   

   

0

   

   

0

   

   

   

   

   

   

   

   

Representa gráficamente  en unos mismos ejes las dos tablas de valores correspondientes a la altura de la válvula. ¿Qué observas?

  • En este apartado vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y=f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f(kx), siendo k un número real positivo.

En la escena  se muestra la gráfica de la función f(x)=sen(x) en azul y en rojo la función y=sen(kx)

2.1 Dale al parámetro k valores  positivos y observa qué sucede.

2.2 ¿Cuál es el periodo de la función y=sen(kx)?

 

2.3 Modifica en la escena las funciones y=f(x), y=f(kx) mediante:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x) i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Para cada gráfica obtén una familia de funciones variando los valores del parámetro k  y copia las representaciones de cada una de esta familias de curvas en tu cuaderno.

Observa que si k>1, la gráfica se encoge horizontalmente y si 0>k>1 se dilata

El periodo de la función y=sen (kx) es 2p/k

El efecto de una dilatación horizontal es el mismo que el de un cambio de escala  en el eje OX

3.Cambio de escala de una función:   y = kf(x/k)    

  • En este apartado vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = af(bx) siendo a y b números reales positivos. 

A partir de lo visto antes, está claro que se van a producir dos deformaciones simultáneas, una vertical y otra horizontal.

En la escena  se muestra la gráfica de la función f(x)=(1-x2)1/2 en azul y  en rojo la de la función  g(x)=a(1-(bx)2)1/2

3.1 Dale a los parámetros a y b valores  positivos  y observa qué sucede.

3.2 ¿Cómo han de ser a y b para que la figura cambie de tamaño pero no de forma?

 

La gráfica de la función y=kf(x/k) es semejante a la de la función y=f(x)

     
           
  José Luis Ramón Pérez (2004)
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004