ASÍNTOTAS
Análisis

1.3.- Asíntotas oblicuas
Hay ramas infinitas del tipo   que se ciñen a rectas de ecuación y=mx+n.

Cuando la función f(x) es el cociente de dos polinomios, y el grado del numerador supera en 1 al del denominador, entonces la curva y=f(x) tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y=mx+n, siendo mx+n el cociente entero de los dos polinomios

EJEMPLO
Vamos a estudiar la asíntota oblicua de las funciones del tipo:

cuyo límite cuando x es , y que por tanto tiene una asíntota oblicua.

En la escena siguiente tenemos:

* La gráfica de la función 
* La gráfica de la asíntota oblicua y=mx+n de dicha función
* La regla de Ruffini para hacer la división del polinomio numerador ax2+bx+c, entre el polinomio denominador x-d
* La gráfica de una recta y=2x+1, cuya ecuación se puede editar en la parte inferior de la escena, donde aparece su ecuación, o sea que puedes cambiarla y pulsar enter.

Objetivo: Averiguar la ecuación de la asíntota oblicua

En el inicio de la escena tenemos a=1, b=-5, c=11 y d=2, o sea la función: 

Al hacer la división por Ruffini, vemos en la escena que nos queda x-3 de cociente y 5 de resto.

Por tanto podemos escribir que: 
Evidentemente si x 
por lo que la función 
estará cada vez más próxima a la recta y=x-3.

Por tanto: La ecuación de la asíntota oblicua de la función

es y=x-3.

En la escena puedes ver, que a medida que x, o sea cuando nos desplazamos a la zona derecha del eje X, la asíntota se va acercando a la curva.

Si cambias en la escena la ecuación y=2x+1 por y=x-3 verás que la recta verde se superpone a la roja, o sea que ahora la recta verde y=x-3 es exactamente la asíntota oblicua. En la escena puedes hacer los siguientes cambios para estudiar otras funciones del mismo tipo:

* Cambiar los valores de los parámetros a, b, c y d.

* Una vez hayas averiguado la ecuación de la asíntota oblicua, introducirla en la ecuación de la recta verde, pulsar enter, y esta recta verde se superpondrá con la asíntota roja, lo que confirmará la bondad del resultado.


EJERCICIO 3
Averigua las ecuaciones de las asíntotas oblícuas de las siguientes funciones, ayudándote de la escena anterior.

EJERCICIO 4
Ahora vas a averiguar la ecuación de las asíntotas de una función gráficamente. En la escena siguiente puedes dibujar la función que quieras y dibujar su asíntota.
Calcula las ecuaciones de las asíntotas, ya sean verticales, horizontales u oblícuas, de las siguientes funciones y comprueba tus resultados en la escena de la izquierda.
 Nota: Al introducir las fórmulas de las funciones, tienes que tener en cuenta la sintaxis que hay que utilizar.
FUNCIONES Sintaxis en la escena FUNCIONES Sintaxis en la escena
y=(x^2-3*x+2)/(x^2+1) y=(x^2-2*x+2)/(x-1)
y=x^3/(x^2+1) y=x^3/(x-1)^2
y=(3*x-1)/(x+2) y=x^2/(x^2-1)
y=3*x^2/(25-x^2) y=x^2/(x-2)

Índice Asíntotas horizontales
Ángela Núñez Castaín
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001