DERIVADAS. APLICACIONES. OPTIMIZACIÓN
Análisis
 
2. MEDIDA DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Las dos funciones que aparecen en el inicio de estas escenas crecen lo mismo, 3 unidades, entre los puntos A y B. Sin embargo su crecimiento medio es muy distinto.
Puedes mover con el ratón los puntos A y B para ver como varía el crecimiento medio de cada una de las funciones al pasar de A a B.

Observa que cuando el segmento AB es más vertical, la pendiente es mayor y por tanto el crecimiento medio también mayor.

Podemos decir que si el crecimiento medio es mayor la función crece más rápidamente.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Se llama tasa de variación media [TVM] de una función, y=f(x), en un intervalo [a,b] al cociente:

La TVM de f(x) en [a,b] es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b))


(Es lo que hemos llamado antes crecimiento medio)
 
En esta escena puedes ver en color amarillo, representados los segmentos sobre el eje X, a y b, y los segmentos sobre le eje Y,
f(a) y f(b).

Puedes mover las abcisas de los puntos A y B, esto es a y b, o cambiar los valores de los parámetros a y b, y comprobar, en cada caso, cuál es la TVM en el intervalo [a,b]

Calcula en tu cuaderno la TVM de la función y=5x-x2 en los siguientes intervalos:

a) TVM[1,2]

b) TVM[1,3]

c) TVM[1,4]

d) TVM[1,5]

Después comprueba tus resultados en la escena, pues esta función es la que puedes ver en ella.

CONSUMO DE UN COCHE

En una revista de coches aparece la gráfica siguiente, para expresar el consumo de gasolina de cierto modelo de coche según a la velocidad a la que circula.

Observa que cuando menos consume es aproximadamente a 50 km/h. Y a medida que se aumenta la velocidad aumenta fuertemente el consumo de gasolina.

Cuando decimos que aumenta el consumo a medida que aumenta la velocidad, estamos diciendo que la función es creciente, y si queremos saber cuanto de "fuertemente" aumenta, tendremos que averiguar la Tasa de Variación Media de la función, o sea cuál es el crecimiento medio.

Con la ayuda de la escena, calcula las siguientes TVM:

TVM[60,80]

TVM[80,100]

TVM[100,120]

TVM[120,140]

Podrás comprobar que aunque la amplitud de los intervalos es la misma, las variaciones medias del consumo son distintas. ¿Qué conclusión puedes sacar del consumo de gasolina según la velocidad del coche?

Fíjate bien en la forma de la curva y verás que si es más vertical el crecimiento medio es mayor.

OTRA FORMA DE EXPRESAR LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Con frecuencia, al intervalo que estudiamos [a,b], se le nombra mediante la expresión [a,a+h], nombrando así, a un extremos del intervalo, a, y a su longitud, h. De tal manera que b=a+h, y por tanto h=b-a

En tal caso, la Tasa de Variación Media se obtiene así:

Vamos a calcular la TVM de la función dada en esta escena en un intervalo con origen en 1 y con longitud variable, h. Es decir en el intervalo [1,1+h]

Hemos de calcular:

Empecemos por calcular f(1+h) y f(1):

f(1+h)=5(1+h)-(1+h)2=5+5h-(1+2h+h2)=4+3h-h2

f(1)=5.1-12=4

Observa que, ahora, si damos a h los valores 1, 2, 3 y 4, respectivamente, obtenemos las TVM siguientes:
TVM[1,2], TVM[1,3], TVM[1,4], TVM[1,5], que habíamos calculado anteriormente. Comprueba que coinciden los resultados en esta escena y en la del ejemplo que estudiamos anteriormente.
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  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001