DERIVADAS. APLICACIONES. OPTIMIZACIÓN
Análisis
 
3. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El crecimiento de una función en un punto viene dado de forma natural, por el crecimiento o pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Basta dibujar la recta tangente en el punto P que queramos, tomar dos puntos de la misma, calcular la variación de la y partido por la variación de la x, y así tendremos la pendiente de dicha recta tangente, o lo que es lo mismo el crecimiento de la función en el punto P.

Mirando en esta escena la recta tangente en P, calcula el crecimiento de la función adjunta en los puntos de abcisa -1, 0, 1, 2 y 3.

Compruébalo en la escena arrastrando el punto P con el ratón para buscar los distintos puntos.

Te recuerdo que pulsando con el ratón en cualquier punto de la escena puedes visualizar las coordenadas del mismo
Veremos ahora cómo calcular el crecimiento en un punto de funciones dadas por su expresión analítica.

OBTENCIÓN DEL CRECIMIENTO EN UN PUNTO MEDIANTE LA T.V.M.
La TVM de una función en un intervalo se interpreta como la pendiente de la cuerda correspondiente.
En esta escena ve disminuyendo el valor de h e irás obteniendo distintos intervalos, cada vez menores.

De esta forma los puntos Bi se van acercando al punto A.
 
La recta tangente se obtiene como límite de las secantes AB1, AB2,...

 Por tanto, la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las secantes cuando Bi A
 
Esto lo puedes ver en la escena. Las pendientes de las sucesivas secantes se van aproximando a la pendiente de la tangente cuando h0

El crecimiento de una función en un punto se mide por la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Se obtiene mediante el siguiente límite:

CRECIMIENTO PUNTUAL DE f en a =
A ese valor se le llama derivada de f en a y se designa por f ' (a)

Por tanto:

EJERCICIOS

1.-Hallemos la medida del crecimiento de la función y=5x-x2, que aparece en esta escena (cuando el parámetro función de la parte inferior de la escena=0), en algunos de sus puntos:

En a=1

TVM[1,1+h]=3-h (la hemos calculado anteriormente)

Por tanto, f '(1) =

En a=0

Por tanto, f '(0) =

En a=3

Por tanto, f '(3) = 

Puedes comprobar estos resultados en la escena dando a a los valores adecuados, y a la vez ver como es el crecimiento de la función en cada punto al observar la recta tangente.

Halla la derivada de esta función (y = 5x - x2) en los puntos de abcisa 1, 4 y 5. Anótalo en tu cuaderno y compruébalos en la escena.

2.- En la misma escena anterior, si das al parámetro función el valor 1, aparece la gráfica de otra función. Concretamente de

Vamos a hallar la ecuación de la recta tangente a esta función en el punto de abcisa a=4

Hemos de calcular

 
Puedes comprobarlo en la escena anterior. Te recuerdo que puedes mover los ejes con los botones superiores, o cambiar la escala, si no ves la zona de la gráfica que te interese. También puedes dar al botón limpiar para borrar el rastro que deja las rectas secantes

La pendiente de la recta tangente en el punto de abcisa 4 es, pues,

Como f(4) = 3/2, dicha recta pasa por el punto (4, 3/2)

Su ecuación es, por tanto,

Halla la derivada de la función en los puntos de abcisas 1, -1 y 5.

Todas ellas las puedes comprobar en la escena.

Halla también las ecuaciones de las rectas tangentes en esos puntos, comprobando tus resultados en la escena anterior.
  Índice de la unidad   Medida del crecimiento de una función   Función derivada de otra  
           
  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001