Supongamos que te dejas caer al agua estando en un acantilado de 20 metros de altura. Vamos a estudiar la distancia y al agua en cada instante x. Se trata de una función cuya fórmula es y=20-5x2.

En cada instante a estarás a una distancia f(a) del punto origen O. Si representamos todas las parejas P=(a,f(a)) en unos ejes cartesianos tendremos la gráfica de esta función.

El espacio recorrido en un tiempo h será la resta f(a+h)-f(a) y tendrá signo positivo si me alejo del agua y signo negativo si me acerco al agua.

EJERCICIOS:

1.- Halla la distancia transcurridos a=1.2 segundos. En el eje de ordenadas un cuadrado son 10m.

2.- Halla el tiempo que debe transcurrir para que esté a y=10 m del agua.

3.- Halla los metros que ha recorrido entre x=1.5 y x=1.7 segundos.

4.- Halla la velocidad media entre x=1.5 y x=1.7. Recuerda que es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

Anota las respuestas en el cuaderno.

OBSERVACION

En el ejercicio 4 has obtenido una velocidad negativa v=-16m/s porque la distancia al agua es cada vez más pequeña.

Siempre que trabajemos con funciones decrecientes la velocidad tendrá signo negativo. Si la función es creciente el signo de la velocidad será positivo.

Uno de los aspectos más interesantes de esta situación es el estudio de la velocidad con que este móvil cambia su posición al pasar del punto P al punto Q

Esta velocidad vendrá dada por el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

Cuando conocemos la posición a lo largo del tiempo mediante una fórmula y=f(x), va a ser útil referirnos a los puntos P y Q usando sus coordenadas de la siguiente forma: Si estamos en P en el instante x=a, estaremos en Q en otro instante al que vamos a llamar x=a+h y las posiciones de dichos puntos serán f(a) y f(a+h) respectivamente. Con esta notación las coordenadas de estos puntos serán: P=(a,f(a)) y Q=(a+h,f(a+h)). El espacio recorrido entre P y Q será f(a+h)-f(a), el tiempo empleado en recorrerlo será h y la velocidad media será

EJERCICIOS

1.- Halla la velocidad media entre el instante x=1 y el instante x=1.75 Recuerda que h es el tiempo transcurrido entre a=1 y a+h=1.75

2.- Halla la velocidad media entre x=1 y x=1.6

3.- Halla la velocidad media entre x=0.5 y x=1.7.

4.- Halla la velocidad entre x=1.5 y x=0.6. Observa que ahora h es negativo pero f(a+h)-f(a) es positivo. Por tanto la velocidad media mantiene el signo negativo.

OBSERVACION:

Si el punto Q está antes que P, h tendrá signo negativo pero la velocidad mantendrá su signo.

La recta secante que pasa por los puntos P (a, f(a)) y Q (a+h, f(a+h)) tiene una pendiente m que, como sabes, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas y se puede calcular con la fórmula:

EJERCICIOS

1.- Modifica Q arrastrando con el ratón y observa cómo varían las pendientes de las secantes, la velocidad media y el ángulo al pasar de P a Q.

1.1.- Elige P y Q en el tramo en el que la gráfica es creciente y presta especial atención al signo de la pendiente.

1.2.- Elige P y Q en el tramo decreciente y fíjate de nuevo en el signo de la pendiente

Como recordarás, esta pendiente, que coincide con la tangente del ángulo que forma la recta secante con el eje de abscisas, nos informa de la dirección que lleva la recta.

Recordarás también que las rectas crecientes tienen pendiente positiva y las rectas decrecientes tienen pendiente negativa.

La velocidad media entre P y Q coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q.

Del mismo modo que nos puede interesar conocer la velocidad media con que hemos circulado para ir de Madrid a Barcelona encontramos otras situaciones, quizás menos familiares, pero similares a ésta y que nos plantean la misma pregunta. Por ejemplo, con qué velocidad aumenta o disminuye el nº de enfermos en una epidemia, la audiencia de un programa de televisión, el nº de personas que acuden cada semana a ver una determinada película, la demanda un artículo de consumo etc en un intervalo de tiempo.

No sólo esto. Podríamos estar interesados en la comparación de dos magnitudes cualesquiera, sin necesidad de referirnos siempre al tiempo empleado en producirse un cambio y que corresponde con la idea de velocidad media. Por ejemplo, si estamos comparando la talla y el peso de una persona a lo largo de su vida podría interesarnos saber cuánto varía el peso por cada cm. que varíe su talla.

Parece útil crear un concepto semejante al de velocidad media cuando queramos comparar la evolución de dos magnitudes cualesquiera. Del mismo modo que para estudiar la velocidad hemos necesitado conocer la posición del móvil en cada instante, esto es una función que relaciona posición y tiempo, ahora necesitaremos partir de una fórmula que nos relacione nuestras dos magnitudes sean éstas las que sean.

La tasa de variación media de y=f(x) entre dos puntos P=(a,f(x)) y Q=(a+h,f(a+h)) es la variación que experimenta y cuando x varía una unidad.

Dada una función y=f(x) hemos encontrado una expresión que permite medir la tasa de variación media entre dos puntos P y Q y que es la misma que usamos para medir la pendiente de la recta que pasa por P y Q. La velocidad media es un caso particular para x=tiempo e y=posición de un móvil.

1.- Elige la FUNCION 1. Su fórmula es y=1.5x-2.

1.1.-Selecciona puntos Q ( por ej. h=1.5, h=1.2, h=1, h=0.5, h=0.1, h=-0.4, h=-0.1) y haz una estimación de la tasa asociada a P y Q a partir de las coordenadas. Comprueba en la parte superior.

1.2.-Selecciona otros puntos PQ ( puedes poner a=1 y cambiar Q a través de h) y estima la tasa. Fíjate en el valor obtenido y en la fórmula. Anota tus conclusiones usando una tabla como antes.

Si la gráfica de y=f(x) es una recta, la TVM entre dos puntos cualesquiera es constante y coincide con la pendiente de la recta.

Además, si la recta es creciente la TVM es positiva y coincide con el coeficiente de x

2.- Elige la FUNCIÓN 2. Su fórmula es y=-0.3x+4

2.1.- Anota en el cuaderno el tipo de función, la TVM de esta función entre dos puntos P y Q cualesquiera y comprueba en la escena tus anotaciones.

3.-Elige la FUNCION 3. Su fórmula es y=-0.5x²+4x-3.5.

3.1.- Selecciona puntos P y Q del tramo creciente y trata de calcular su TVM aproximada. Puedes leer las coordenadas de los puntos en los ejes de la escena. Cuando tengas su valor comprueba en la parte superior de la gráfica.

3.2.- Elige puntos P y Q del tramo decreciente y haz una estimación de la tasa. Presta especial atención al signo.

Si la gráfica de la función es una curva, la TVM es variable, depende de los puntos.

Si la gráfica es creciente, la TVM entre dos puntos P y Q es siempre positiva

Si la gráfica es decreciente, la TVM entre dos puntos P y Q es siempre negativa

4.- Elige la FUNCIÓN 4. Su fórmula es y=x²-8x+16. Anota en el cuaderno el tipo de gráfica.

4.1.- Haz una estimación de la tasa en los siguientes intervalos:

a) [2,3], [2,4] y [3,4]. Anota las respuestas y comprueba en la escena

b) [4,5] , [4,6] y [5,6]. Anota y comprueba

CONCLUSIONES

Para estudiar el ritmo de crecimiento de una función entre dos puntos se utiliza la tasa de variación media