En la siguiente escena vamos a estudiar la ecuación  3x² - 4x + 1 = 0. , resuelta en página anterior y que  tenía por soluciones: x = 1 y x = 1/3.

Recordemos que en este caso la gráfica que se obtenía a partir de la ecuación (parábola) cortaba al eje X en dos puntos, luego la ecuación tenían dos soluciones.

Numéricamente, se observaba que el radicando de la raíz cuadrada de la fórmula era positivo (ver fórmula en Ecuación_seg_1 . A este valor se le llama "discriminante" de la ecuación. Se suele simbolizar por un pequeño triángulo, aunque aquí le llamaremos "D"

En el ejemplo el discriminante D = 16 - 12 = 4 > 0, luego la ecuación tiene dos soluciones.

Al aplicar la fórmula, habrás llegado a la "raíz cuadrada de 0". "el discriminante de la ecuación es 0"

¿Qué significa ahora?. Como la raíz cuadrada de 0 es 0, se obtiene que x = 2/2 = 1 como "unica solución" de la ecuación. Por tanto en este caso sólo existe una solución.

Obsérvalo en la siguiente escena.

La parábola sólo corta al eje X en un punto, en el que x = 1. Por tanto:

"Si la ecuación de segundo grado tiene una sola solución, la parábola corta al eje X en un sólo punto: el vértice de la parábola".

En la siguiente escena vamos a estudiar la ecuación  x² + 2x + 2 = 0

Al aplicar la fórmula obtendrás la raíz cuadrada de - 4 (D = - 4) que, "atención" por ser un número negativo, sabes que la raíz cuadrada del mismo no existe.

Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

Pero veamos gráficamente lo que significa:

Observa en la escena siguiente, donde "a", "b" y "c" toman los valores correspondientes (1, 2 y 2 respectivamente).¿qué observas ahora respecto a la parábola y el eje X ?

1.-Observa como la parábola no corta a dicho eje y la ecuación no tiene solución.

2.-Resuelve la ecuación:          -2x² + 4x - 5= 0 cambiando en la escena anterior el valor de los parámetros. ¡Atención a todos los signos!. Deberás obtener la raíz cuadrada de -24, luego la ecuación tampoco tendrá solución.

3.-Comprueba en la gráfica  cambiando ahora los valores de a, b y c por los correspondientes a este caso -2, 4 y -5, que la parábola tampoco corta al eje X.

Por tanto:"Si la ecuación de segundo grado no tiene solución, la gráfica correspondiente no corta al eje X"

RESUMEN

Hemos visto que el número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende del signo número que se obtenga dentro de la raíz cuadrada de la fórmula, o sea el signo del "discriminante" de la ecuación, y su valor será:

D = b² - 4ac. Puede ocurrir:

a) Que el discriminante sea un número positivo (Apartado 1.1). En cuyo caso la ecuación tiene dos soluciones.

b) Que el discriminante sea 0 (Apartado 1.2). En cuyo caso la ecuación tiene una única solución.

c) Que el discriminante sea un número negativo (Apartado 1.3). En cuyo caso la ecuación no tiene solución

a) x² - 2x 11 = 0

b) x² -1/4 = 0

c) 4x² - 4x +3 = 0

2.- Utiliza la escena anterior para encontrar ecuaciones de segundo grado (con coeficientes enteros), distintas a las que has resuelto, que tengan dos, una o ninguna solución y escribe dichas soluciones.

Ejemplos: x⁴ - 5x² +4 = 0 . .; . . .x⁴ - 4 = x² - 1

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el segundo miembro igualado a 0.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.

Ver representada en la siguiente escena la primera ecuación del ejemplo: x⁴ - 5x² +4 = 0

"Atención que ahora llamaremos a, b y c respectivamente a los coeficientes de x⁴, x² y término independiente"

1.-Observa que ahora la gráfica ya no es una parábola que que ¡corta al eje X en cuatro puntos!

Naturalmente eso significa que la ecuación tiene cuatro soluciones: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2 

2.- Reproduce en tu cuaderno la resolución numérica  de una  ecuación bicuadrada. Para resolver las ecuaciones bicuadradas se procede de acuerdo a los siguientes pasos (los vemos con el ejemplo anterior).

3.- Resolver numéricamente la ecuación : x⁴ - 5x² +4 = 0

a) Simplificar y agrupar los términos en el primer miembro (ya está).

b) Llamar a x² = z (podría ser otra letra cualquiera) , por lo que x⁴ = z²

c) Resolver la ecuación con la nueva incógnita: z² - 5z + 4 = 0 (se obtiene usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: z = 1 ; z = 4)

d) A partir de los valores de z, obtener los de x.:z = x² = 4, de donde : x = raíz cuadrada de 4 = ± 2

Por tanto obtenemos las cuatro soluciones que antes vimos gráficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

 Casos posibles para las soluciones

Teniendo en cuenta los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado, para las ecuaciones bicuadradas, se podrán obtener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.

· Cuatro soluciones cuando la ecuación correspondiente de segundo grado tenga dos positivas

· Tres soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una positiva y una 0 (la raiz cuadrada de 0 es 0 luego de esta sólo se obtiene una)

· Dos soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y otra negativa (la raíz cuadrada de un número negativo no existe).

· Una solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga sólo la solución 0 o cuando tenga una solución 0 y otra negativa..

· Ninguna solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga dos negativas, una sola negativa o ninguna solución.

En la escena siguiente se presenta el caso de tres soluciones: x⁴ - 9x² = 0

Se presenta en rojo la ecuación bicuadrada y en azul la de segundo grado correspondiente (observa que ahora escribimos las ecuaciones completas en las dos ventanas inferiores.

Utiliza la escena siguiente para resolver gráficamente las siguientes ecuaciones bicuadradas.

Escribe en la ventana izquierda la ecuación bicuadrada y en la otra (derecha) la de segundo grado que hay que resolver también.

a) x⁴ - 3x² + 2 = 0. 

b) x⁴ - 10x² = -9

c) x⁴ = x²

d) x⁴ - 2x² - 8 = 0