CONCEPTOS PREVIOS II

(la función derivada y el problema recíproco)
1. LA FUNCIÓN DERIVADA.
Dada una función f, de manera que en cada punto de su dominio es derivable, se puede definir una nueva función (que denotaremos por f') llamada función derivada, que asocia a cada valor x la derivada de la función f en ese punto x (f'(x)).

1.- Construye la función derivada de la función cuya gráfica es de color magenta.

2.- Deduce la fórmula de la función derivada de f utilizando las reglas de derivación.

Modificando el valor del parámetro x0 se obtiene los sucesivos valores de la función derivada.

3.- Calcula la fórmula de la función derivada a través de la gráfica que se ha formado. ¿Coincide con la obtenida en el ejercicio 2?.

Puedes cambiar la función f modificando el valor de a.
4.- ¿En qué cambia la función derivada si se modifica el valor de a?.
2. LA FUNCIÓN DERIVADA Y EL PERFIL DE UNA MONTAÑA RUSA
5.- Compara los resultados obtenidos en la actividad anterior, con los que se proponían en la actividad 2 de la página "preliminares".
Pulsando el botón animar se repite el proceso de la actividad 2.

6.- Observa el proceso y los resultados. Analiza la relación que hay con la función derivada.

7.- Calcula la fórmula de la función magenta original (es un polinomio de segundo grado) y el de la función naranja que aparece tras el proceso. Replantéate el ejercicio 6.

8.- Analiza las similitudes y diferencias que existen entre las previsiones del ejercicio 6 y lo observado en el 7. ¿Qué ocurre si la base de los triángulos se hace cada vez más pequeña?
3. EL PROBLEMA RECÍPROCO
Conocida la gráfica de la derivada de una función, ¿Podemos recuperar la gráfica de la función original?.

La gráfica de la función derivada determina en cada punto x la pendiente de la recta tangente a la  gráfica de la función original.  Las rectas tangentes van variando de pendiente y el haz de rectas determina una curva tangente. Esta curva es, por tanto, la gráfica de la función buscada.

El problema se puede redactar de la siguiente forma: Dada una función f, encontrar otra función F, llamada primitiva de f, de manera que la función derivada de F es f.

9:- Intenta intuir quien puede ser una primitiva de la función f(x)=x/2.

10.- Construye el haz de rectas que tienen la pendiente que en cada valor de x viene dado por la función derivada.

Si varías el valor de x0 podrás obtener la gráfica de una primitiva de f.

11.- Comprueba, mediante las reglas de derivación, que efectivamente, la función original es la derivada de la función hallada.

Cuando el valor de x0 es mayor que 4 aparecerá la fórmula de una primitiva de f.
12.- ¿La fórmula que aparece en la escena es la misma que has encontrado en el ejercicio 9?. Analiza la situación.
4. LA FUNCIÓN PRIMITIVA
Si regresamos al problema del ingeniero de diseñar previamente las piezas de la montaña rusa antes de construirla, nos encontramos con un problema similar al de la actividad anterior. La gráfica magenta representa la variación de altura de las piezas.

13.- Representa una gráfica magenta que represente una recta de pendiente 0.5. Con las piezas formadas, trasládalas para una vez unidos los vértices obtengamos una gráfica verde.

Para determinar la gráfica magenta, basta con mover verticalmente los controles que aparecen a lo largo de la línea. Una vez construida la gráfica magenta, haz coincidir las piezas que aparecen a la derecha de la escena, con las formadas en la gráfica magenta. Para modificar la altura de las correspondientes piezas, varía los valores de los parámetros p1, p2, etc. Finalmente, traslada las piezas verticalmente haciendo coincidir el vértice superior de cada una de ellas con el inferior izquierdo de la siguiente.

14.- Compara los resultados obtenidos con la actividad 2.

15.- ¿Es importante el punto dónde fijas la primera pieza?. Cámbialo por otro a diferente altura y analiza lo que ocurre.
Enrique Martínez Arcos
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001