PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
1. FUNCIONES CON LA MISMA FUNCIÓN DERIVADA
En la actividad 1 de la página anterior construíamos la función derivada de f(x)=(x2/2)-4, obteniendo f'(x)=x. Analicemos la siguiente situación: ¿Habrá otras funciones cuya función derivada también sea  f'(x)=x.

1.- Repasa las reglas de derivación e intenta dar una respuesta a la pregunta formulada.

2.- Observa la escena e interpreta el significado del parámetro C.

3.- Modifica el valor de C y calcula las correspondientes funciones derivadas. Formula una respuesta a la pregunta de la cabecera de la actividad.

4.- Analiza de nuevo las reglas de derivación y demuestra la conjetura que has formulado en el ejercicio 3.
2. AMBIGÜEDAD DE LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Si la primitiva de una función f es aquella cuya función derivada es f, y hemos visto que hay más de una función con la misma función derivada, nos podemos plantear las siguientes cuestiones:
  • ¿La primitiva de una función será única?
  • ¿Qué relación habrá entre dos primitivas distintas de la misma función?
  • ¿Dónde nos hemos encontrado con un problema parecido?

5.- Observa la siguiente escena y cómo se puede generar un perfil a partir de la variación de pendiente de las piezas.

Pulsa el botón Animar para observar cómo se construye el perfil.

6.- El perfil depende de la colocación de la primera pieza. Ésta se sitúa en el punto Q. Modifica la posición de este punto. ¿Qué ocurre?. ¿El perfil es idéntico?.

7.- Investiga qué relación hay entre las fórmulas de una función cualquiera f y de la función que resulta de trasladar verticalmente la gráfica de f.

8.- Deduce si la primitiva de una función es única y qué relación hay entre las diferentes primitivas de una misma función.
3. INTEGRAL INDEFINIDA
Al conjunto de todas las primitivas de la función f, se denomina integral indefinida de la función f y se denota por la expresión . Esta expresión se lee integral de f diferencial de x. Al símbolo que inicia la expresión (y que tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y al resto de la expresión, integrando.

9.- Obtén una primitiva de la función f(x)=x/2. Para ello aumenta el valor del parámetro x0.

10.- Compara las expresiones de las funciones obtenidas en los ejercicios 9 y en la página anterior.

11.- Modifica la posición del control P. ¿Varía la primitiva de f?.

12.- Compara los resultados obtenidos para diferentes posiciones de P. ¿Qué relación hay entre las diferentes primitivas de una misma función?.

13.- Demuestra el siguiente resultado: Si F es una primitiva de f, también lo es la función g(x)=F(x)+C, para cualquier valor de la constante C. En estas condiciones, ¿cuál será la primitiva más sencilla de la función f(x)=x/2?.

Una función tiene infinitas primitivas. Todas sus primitivas se diferencian en una constante. Cada primitiva queda unívocamente determinada si se fija un punto por el que pasa.

14.- Determina, analíticamente, la primitiva de la función f(x)=x/2 que pasa por el punto P=(-4,-2). Compruébalo con la escena anterior.

Si F es una primitiva de la función f, la integral indefinida de f es, por tanto, el conjunto de todas las funciones cuya expresión se obtiene sumando a la de F una constante.  Esto es,, con C variando en el conjunto de los nº reales.
Enrique Martínez Arcos
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001