PROPIEDAD DE LINEALIDAD DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. SUMA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones f y g, se define la suma de f y g, como una nueva función h definida por la relación h(x)=f(x)+g(x). Habitualmente a la función h se representa por f+g.

1.- Comprueba como la definición de la función suma se determina para cada valor x que pertenece al dominio de f y g a la vez.

2.- ¿Cómo se definiría la suma de f consigo misma?. Interpreta el producto de un número real por una función.

El producto de un número real a por una función f, es una nueva función (que se representa por (af)) definida para cada x, como el producto del número a por la imagen de x por f.

3.- ¿Qué valores de x serán aquellos donde la función suma se anula?.

4.- deduce la fórmula de la función suma de f(x)=3x más g(x)=2/x.
2. LA SUMA DE PERFILES
Si se dispone de dos perfiles construidos con piezas triangulares, el perfil suma es el que se obtiene a través de nuevas piezas consecuencia de unir las alturas de las piezas originales que ocupaban la misma posición.
5.- Comprueba que el perfil magenta es consecuencia de las sumas de los perfiles verde y turquesa.
El botón Animar ofrece una demostración de como se construyen las piezas del perfil magenta a partir de los perfiles que componen la suma.

6.- ¿El perfil magenta es realmente la suma de los perfiles verde y turquesa?. ¿En qué condiciones se tendría la igualdad?.

7.- ¿Cómo se obtendría el perfil resultado de multiplicar a la gráfica verde por 3?.
3. LINEALIDAD DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
  1. La integral de la suma de funciones es la suma de las integrales de cada uno de los sumandos.
  2. La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la integral de la función.

8.- Observa lo que ocurre si se suman primero los perfiles y luego se halla la primitiva y lo que ocurre cuando el proceso es inverso, se hallan las primitivas de cada perfil y luego se suman.

Avanzando una unidad en los valores del parámetro paso, se van obteniendo estos procesos.
Las piezas de los perfiles verde y turquesa se pueden mover arrastrándolas del control que tienen en el vértice inferior izquierdo de cada una de ellas.

9.- Interpreta geométricamente el resultado de linealidad y demuestra (aprovechando las propiedades de linealidad de la función derivada) los resultados que encabezan esta actividad.

Para calcular una primitiva de la función f+g, se pueden elegir dos caminos distintos:
  1. Si conocemos la fórmula de ambas funciones podemos hallar la fórmula de la función suma e intentar obtener una primitiva.
  2. Aprovechando la linealidad de la integral podemos hallar una primitiva de cada una de ellas y luego sumarlas.
4. ESTRATEGIA PARA CALCULAR PRIMITIVAS UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE LINEALIDAD
La linealidad de la integral es un poderoso recurso para ampliar el número de integrales que podemos aspirar a calcular.

10.- Calcula la integral indefinida de f(x)=cos(3x).

La escena de la izquierda muestra la estrategia para, aprovechando las propiedades de linealidad de la integral, hallar integrales indefinidas.
Avanzando una unidad en el parámetro paso va mostrando los sucesivos razonamientos

11.- Calcula las siguientes integrales

  1. lineal1.gif (1144 bytes)
  2. lineal2.gif (1101 bytes)Indicación: Suma y resta 1 a la función tg2(x) y luego utiliza la linealidad de la integral.
  3. lineal3.gif (1077 bytes)Indicación: transforma la división en una suma y utiliza de nuevo la propiedad de linealidad.
Enrique Martínez Arcos
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001