UNA PRIMITIVA IMPORTANTE

1. LA FUNCIÓN ÁREA
Para cada valor de x perteneciente a un intervalo [a,b], se puede calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función positiva y=f(x) y el eje de abscisas entre a y x.

De esta forma, dada una función y=f(x) podemos construir otra nueva función, de manera que para cada valor de x represente el área del recinto definido anteriormente. A esta nueva función, que llamaremos función área, la vamos a designar por A(x).

1.- Construye la función área asociada a la función f(x)=-(x2/10)+2 en el intervalo [0,4.5]
Usa los pulsadores de colores que hay junto al valor de x.

2.- Analiza las características de la función y=A(x). ¿Qué signo tendrá?. ¿Es monótona?. ¿Qué relaciones encuentras entre las propiedades de f y A?

 


2. UNA PRIMITIVA IMPORTANTE
La función área A es una primitiva de la función original f. Este resultado es muy importante porque va a establecer la relación entre el cálculo de primitivas y el de áreas de recintos planos, limitados por gráficas de funciones, conocido como la regla de Barrow.
 

3.- Comprueba la tesis que relación la función área con la función original f.

4.- Observa la siguiente interpretación geométrica del resultado: Una varilla de altura variable f(x) se desliza, a partir de una valor a, por el eje de abscisas y va pintando el recinto entre la gráfica de la función y elpropio eje de abscisas. La superficie pintada o el área barrida hasta un instante t=x es concretamente A(x). ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en ese instante t=x de área pintada?. Precisamente lo que varía en ese momento es lo que pinta la varilla, esto es, la superficie de la propia varilla, que es igual a su longitud luego f(x).


Enrique Martínez Arcos
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001