Radicación I

	RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
	Álgebra

25.- RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Ya sabes que la operación de radicación es la inversa que la de potenciación.

En esta escena se nos presenta el vector de un número complejo z, y una potencia del mismo, zⁿ.

Veamos que existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zⁿ.

EJEMPLO 1

Para comprobarlo sigue las siguientes instrucciones en la escena:

En el inicio de esta escena tenemos que

(2_30º)³=8_90º

1.- Cambia el valor del argumento de z a A=150º y pulsa la tecla ENTER.

Puedes ver que (2₁₅_0º)³=8_450º=8₉_0º+360º=8₉_0º

2.- Cambia de nuevo el valor del argumento de z, a A=270º y pulsa la tecla ENTER.

Puedes ver que (2₂₇_0º)³=8₈₁_0º=8_90+2·360_º=8₉_0º

3.- En resumen tenemos que en los tres casos z³ es el mismo:

(2_30º)³=(2₁₅_0º)³=(2₂₇_0º)³=8₉_0º

Observa que si unimos los tres afijos (extremos de los vectores) forman un triángulo equilátero.

¿Qué quiere decir todo esto?

Pues que si hacemos la raíz cúbica de 8_90º, nos dará tres soluciones: 2_30º, 2_150º y 2₂₇_0º

Hemos hecho lo contrario que cuando se eleva un complejo al cubo, hemos hecho la raíz cúbica del módulo, y hemos dividido el argumento por 3.

EJEMPLO 2

1.- En la escena pulsa el botón inicio

2.- Introduce r=1, A=60º, n=4 pulsando ENTER cada vez

3.- Pulsa el botón limpiar. Puedes cambiar el zoom y arrastar con el ratón el origen de coordenadas.

4.- Ahora tenemos que (1_60º)⁴ = 1_240º

5.- Introduce A=150º, ENTER

6.- Ahora tenemos que
(1₁₅_0º)⁴=1_600º=1_240º+360º=1_240º

7.- Introduce A=240º, ENTER

8.- Ahora tenemos que
(1_240º)⁴=1_960º=1_{240º+2·360º}=1_240º

9.- Introduce A=330º, ENTER

10.- Ahora tenemos que z⁴ es el mimo
(1_330º)⁴=1₁₃₂₀=1_{240º+3·360º}=1_240º

11.- Por tanto:

De estos dos ejemplos deducimos que la raíz cúbica tiene tres soluciones, y la raíz cuarta, cuatro.

26. RAÍZ CUADRADA

Vamos a hallar

, lee detenidamente el proceso:

1.- Primero pasamos z=4+3i a forma polar:

z=4+3i=5_36.9º

2.- La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

3.- Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:

Si k=0 --> z1=_18.4º

Si k=1 --> z2=_198.4º

Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena. Con k=0 verás la primera solución y con k=1 la segunda, y verás también como quedan los vectores, tanto de z como de z₁ y z₂

Si le seguimos dando valores a k=2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.

EJERCICIO 26

Calcula en tu cuaderno las dos raíces cuadradas de cada uno de los siguientes complejos, pasándolos previamente a la forma polar:

a) z=1-i

b) z=-9

c) z=4i

d) z=-2+2i

Después comprueba tus resultados en la escena.

Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las dos soluciones a la vez.

	Juan Madrigal Muga y Ángela Núñez Castaín

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003