ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Geometría
 
1. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Son aquellas en las que aparece alguna razón trigonométrica de la incognita. Para resolverlas es conveniente :

1º Expresar todas las razones que aparezcan en función de un mismo ángulo.

2º Expresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica.

Estos dos pasos se consiguen utilizando las fórmulas trigonométricas estudiadas anteriormente.

Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes. Aunque también es cierto que hay ecuaciones trigonométricas que no tienen solución.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

1ª sen(x)=1

2ª sen(2x)=2sen(x)

3ª cos2(x)-3sen(x)=3

Soluciones:

-La primera es muy sencilla, no hay que dar los pasos indicados, sólo recordar la circunferencia goniométrica y observar que 90º es el primer ángulo cuyo seno es 1. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer uno y así sucesivamente. Luego hay muchas soluciones, todos los ángulos x de la forma x=90º+k.360º, donde k es cualquier número entero. Si queremos expresar la solución en radianes x=p/2+2.k.p radianes.

-La segunda necesita que apliquemos el primer paso. Como sen(2x)=2sen(x).cos(x), podemos escribir la ecuación en la forma 2sen(x).cos(x)=2sen(x). Ahora si dividimos por 2 nos queda sen(x).cos(x)=sen(x).Y si además dividimos por sen(x) queda cos(x)=1. Cuidado porque esta división supone que sen(x) es distinto de 0.

Las soluciones de cos(x)=1 son x=0º+k.360º o bien x=2.k.p radianes. Obtenidas razonando sobre la circunferencia goniométrica, como anteriormente.

Cuando sen(x)=0 no podemos dividir, esto ocurre para x=0º, 180º, 360º,...

es decir x=k.180º. Pero estos valores son soluciones de la ecuación puesto que cuando sen(x)=0 también
  sen(x).cos(x)=sen(x), ya que queda 0=0.

Ahora bien las soluciones de sen(x)=0 incluyen a las de cos(x)=1, por tanto las soluciones de la ecuación pedida son x=k.180º o bien x=k.p radianes.

- La tercera se convertirá en una ecuación con una sola razón trigonométrica si tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría.

Pasaremos de cos2(x)-3sen(x)=3 a la ecuación 1-sen2(x)-3sen(x)=3, ordenando y agrupando queda
 sen2(x)+3sen(x)+2=0. Ya está en función de una sola razón y de un solo ángulo.

Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará z2+3z+2=0. esta ecuación tiene las soluciones z=-1 y z=-2, que nos proporcionan sen(x)=-1 y sen(x)=-2.

sen(x)=-1 tiene como soluciones x=270º+k.360º o bien x=3p/2+2.k.p radianes.

sen(x)=-2 no tiene solución alguna. Recurrimos continuamente a la circunferencia goniométrica.

Luego las soluciones de la tercera ecuación son: x=270º+k.360º o bien x=3p/2+2.k.p radianes.

2. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS CON EL NIPPE DESCARTES.

El método consiste en:

1- Igualar a 0 el segundo miembro de la ecuación, pasando todas las expresiones al primero.

2- Representar la función correspondiente al primer miembro de la ecuación. Esto se consigue escribiéndola en la parte inferior de la escena y pulsando Intro.

Las soluciones son las x de los puntos de contacto o de corte de la gráfica con el eje X.

Para saber esas coordenadas desplazamos con el ratón el punto marcado con x hasta el sitio de contacto o de corte. Suele haber muchas soluciones. Aunque también las hay que no tienen ninguna.

Para mejorar la precisión podemos aumentar la escala con lo que nos situaremos mejor sobre el punto buscado.
Escribe en la parte inferior derecha la función correspondiente a la ecuación que tratas de resolver y pulsa la tecla Intro.
En la escena tenemos las soluciones de la primera de las tres ecuaciones anteriores.

 

Los dos cuadros siguientes muestran la escena con distinta escala.

Ejercicio:

Prepara la escena para que puedas situarte sobre 4 soluciones distintas.

       
           
  Jesús Fernández Martín de los Santos
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001