Para finalizar el tema vamos a estudiar la relación entre la integral definida y el cálculo de primitivas.

1.- Selecciona los valores que quieras para a y b (con a<b) y sitúa x entre a y b. Vete variando el valor de x y observa los valores que toma la expresión I(x). ¿Que representa esta expresión?

2.- Sitúa a y b de forma que la función f(x) sea siempre positiva en el intervalo [a,b]. Haz que x y a tomen el mismo valor y comienza a desplazar x hacia la derecha. Mientras x se mantenga en el intervalo [a,b] ¿que puede afirmarse de la función I(x)?

3.- Sitúa ahora a y b de forma que la función f(x) sea siempre negativa en el intervalo [a,b] y haz lo mismo de antes. ¿Qué podemos decir ahora de I(x)?

4.- Las conclusiones que hayas sacado en las dos cuestiones anteriores ¿te recuerdan a algún teorema conocido?

La respuesta a la cuestión anterior nos hace sospechar que existe una relación más importante entre f(x) y la función integral I(x). Veámoslo con la siguiente actividad:

1.- Desplaza la x entre a y b. La línea amarilla es la gráfica de f(x), la línea turquesa es la gráfica de I(x) y la recta azul es la recta tangente en cada punto a I(x). ¿Qué relación hay entre el sombreado rojo que va apareciendo y el valor que toma en cada punto la función I(x)?

2.- Observa los valores que van tomando f(x) y la pendiente de la tangente a I(x) en cada punto. ¿Qué conclusión podemos sacar de este hecho?