CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Análisis
 

Una de las primeras aplicaciones de la derivada la tenemos en el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función.

La idea gráfica de cuando una función crece o decrece ya la conoces.

1.Derivada y crecimiento

2.Cálculo de intervalos

3.Ejercicios de aplicación

1. RELACIÓN ENTRE LA DERIVADA Y EL CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable.

Diremos que una función y=f(x) es CRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: 

  • si x£xo entonces f(x)£f(xo) y si xo£x entonces f(xo)£f(x)

 

Comprueba, cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo con el ratón, que este caso signo[f(x)-f(xo)] = signo[x-xo]

 

Si f es derivable será:  

Si una función es derivable y creciente en xo entonces f'(xo) ³ 0

 

Diremos que una función y=f(x) es DECRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: 

  • si x£xo entonces f(x)³f(xo) y si xo£x entonces f(xo)³f(x)
 

Cambia el valor de x en la escena (pulsando sobre las flechas o arrastrando el punto rojo con el ratón) para comprobar que ahora signo[f(x)-f(xo)] ¹ signo[x-xo]

 

En este caso:

 

Si una función es derivable y decreciente en xo entonces f'(xo) £ 0
Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x) y su derivada y=f'(x)
Comprueba, cambiando el valor de x en la escena, que f es creciente si x<1 y decreciente si x>1

Recuerda que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

  • ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente mientras la función es creciente?, ¿y cuando es decreciente?

  • ¿Qué relación observas entre el signo de la derivada y el crecimiento o decrecimiento de la función?

  • Si f'(xo)>0, entonces f es creciente en xo

  • Si f'(xo)<0, entonces f es decreciente en xo 
       
           
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001