El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta

DetA=DetA^t , es decir,   o denotando cada fila con el color usual en esta unidad,

Por tanto, todas las propiedades vistas para las filas de una matriz son también ciertas para sus columnas

En la escena, se presenta a la izquierda el determinante de una matriz, y a la derecha, el de su traspuesta. Si variamos los valores de a, b, c, y d, es difícil ver que ambos paralelogramos coinciden. Veremos primero, geométricamente, que coinciden cuando la matriz es triangular. 

Matriz triangular Caso c=0

1. Tomar en la escena a=3, b=4, c=0 y d=6 aparentemente los dos determinantes que se obtienen, ¿son distintos?

2. Si arrastramos el vector de azul de la izquierda sobre la recta x=a, hasta el eje-x, el área del paralelogramo de la izquierda  no varía, tampoco cambia el área del paralelogramo de la derecha. El control dibujar lineas nos ayudará a ver el cambio realizado.

Se puede repetir el proceso tomando otros valores para a, b y d.

Matriz triangular Caso d=0

1. Tomar en la escena a=3, b=4, c=6 y d=0 aparentemente los dos determinantes que se obtienen, ¿son distintos?

2. Si arrastramos el vector de azul de la izquierda sobre la recta y=b, hasta el eje-y, el área del paralelogramo de la izquierda  no varía, tampoco cambia el área del paralelogramo de la derecha. El control dibujar lineas nos ayudará a ver el cambio realizado.

Se puede repetir el proceso tomando otros valores para a, b y c.

En el caso de una matriz diagonal es evidente que detA= detA^t . A continuación se detalla la diagonalización de una matriz y su traspuesta con el objeto de demostrar esta propiedad.

Diagonalizando A para demostrar que detA=detA^t

Por último se recomienda la lectura del documento pdf, en el que se ve esta introducción geométrica, y se detalla, de forma similar, para las matrices de orden 3.

En esta web, se encuentra una unidad, sobre el cálculo de distancias, relacionada con esta interpretación geométrica http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/distancias_d3/inicio.htm