Visualización de funciones

	Visualización de funciones elementales y de sus derivadas
	Análisis: Función derivada

1.- Funciones potenciales

1: f(x)=4	2: f(x)=x	3: f(x)=x²	4: f(x)=x³	5: f(x)=x⁴
6: f(x)=x^-1	7: f(x)=x^-2	8: f(x)=x^1/2	9: f(x)=x^1/3

Hay tres entradas de parámetros, función (1 a 9), derivada (0,1) y a (abcisa del punto). El parámetro derivada puesto a 1 visualiza la expresión de la derivada y su gráfica correspondiente. El parámetro abcisa permite evaluar el valor de la función y de su derivada.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones potenciales de 1 a 9, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 9, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

Observar que la función potencial es de la forma xⁿ, donde n es un racional, por ejemplo: x, x², x³, x^-1= 1/x, x^1/2= raiz2(x) 'raíz cuadrada de x', x^1/3=raiz3(x) 'raíz cúbica de x' etc.

Pulsando Inicio y poniendo el parámetro función a 0, se podrá introducir la entrada f(x) y g(x) por las funciones que el estudiante desee, aunque en este caso el programa no comprueba si la entrada de la función derivada es correcto.

Nota: Los operadores algebraicos son suma (+), resta(-), producto(*), división (/), potenciación (^). Para introducir el exponente de la potencia teclear el símbolo ^ que significa "elevado a". La función raíz cuadrada se puede conseguir con x^(1/2) o bien con sqrt(x).

2. Funciones logarítmicas, trigonométricas y exponenciales

1: f(x)= ln(x)	2: f(x)=log₁₀(x)	3: f(x)=sen(x)	4: f(x)=cos(x)
5: f(x)=tg(x)	6: f(x)=e^x	7: f(x)=2^x

El Nippe del margen izquierdo muestra siete funciones (valor del parámetro función del 1 al 7).

Poniendo el parámetro derivada a 1 se muestra también la derivada de la función.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 7, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

Observar que una función exponencial es de la forma y=a^x donde a es la base fijada y distinta de 1.

La función y=e^x es la función exponencial que tiene por base el número irracional 'e' cuyo valor aproximado es 2,718282. El programa interpreta la función y=e^x si le proporcionamos la función exp(x).

Son funciones trigonométricas admitidas por el programa sen(x), cos(x) y tan(x).

Observar que el logaritmo de x en base e ó neperiano log_e(x) se suele representar por y = ln(x) pero al programa hay que proporcionarle la función y=log(x). No confundir esta forma del programa con la que usualmente empleamos para el logaritmo en base 10 o decimal log₁₀(x) que en el programa hay que poner como y = log10(x).

Para representar funciones logarítmicas en base cualquiera a hay que tener en cuenta la relación siguiente:

log_a(x)=log_e(x)/log_e(a)=ln(x)/ln(a).

Por ejemplo para la función y = log₂(x) habrá que proporcionar al programa la expresión y=log(x)/log(2)

3. Derivadas de las operaciones suma, producto y cociente de funciones elementales

Se muestran 10 funciones numeradas de 1 a 10. Para ver la función derivada basta poner la entrada del parámetro derivada a valor 1.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las operaciones suma, producto y cociente de las funciones elementales, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 7, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

1: f(x)=x³-3x²+2x+1	2: f(x)=x ln (x)	3: f(x)=x sen(x)	4: f(x)=x e^x	5: f(x)=sen(x)+cos(x)
6: f(x)=sen(x) cos(x)	7: f(x)=x / (x+1)	8: f(x)=(x²+1) / (x+1)	9: f(x)=sen(x) / x	10: f(x)=ln(x) / x

4. Ejercicios:

En cualquiera de las escenas anteriores poner el parámetro función a valor 0 y reemplazar g(x) por la derivada de las funciones f(x) siguientes

1: f(x)=x^(-5)

2: f(x)=log₃(x)

3: f(x)=7^x

4: f(x)=x^3-3*x+7

5: f(x)=x+5/x

6: f(x)=-2/raiz2(x)

7: f(x)=x^3/raiz2(x)

8: f(x)=x*raiz2(x)

9: f(x)=1/sen(x)

10: f(x)=1/cos(x)

11: x^2*ln(x)

12: sen(x)*ln(x)

13: x^2/(2*x+1)

5. Problemas

En los problemas siguientes indicaremos con (*) aquellos para los que la función a la que hace referencia es una de las que se puede visualizar en los programas anteriores y por lo tanto pueden consultarse para leer el valor de la función f(x) y su derivada f ´(x) en x=a. En cualquier caso es conveniente que el estudiante se asegure que sabe calcular estos valores sin utilizar el programa.

Como la variable x (parámetro a del programa Descartes) tiene un incremento prefijado, es posible que algunos valores de ésta no se alcancen incrementándolo de forma automática. Siempre se podrá introducir manualmente el valor del parámetro a nuestra conveniencia en vez de hacerlo incrementar automáticamente

1: Calcular el valor de x=a para el cual la derivada de la función

f(x)=x³-3x²+2x+1 (*) toma el valor 1.

2: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f(x)=(x²+1) / (x+1) (*)en el punto de abcisa a=0. Así mismo, determínese los puntos donde la tangente a la curva es horizontal.

3: Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x ln (x) (*)

4: Hallar una función de segundo grado sabiendo que pasa por (1,0) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (2,-1) vale 0.

Orientación: llama a la función f(x)=ax²+bx+c y ten en cuenta que según el enunciado f(0)=1, f(2)=-1 y f ´(2)=0.

5: Halla el vértice de la parábola y=x²+6x+11 teniendo en cuenta que en ese punto la recta tangente es horizontal.

6: Averigua que función es y=f(x) que cumple las siguientes condiciones:

a) Su derivada es f ´(x)=3x²+4x+5

b) Pasa por el punto (-2,6)

7: A las 9 de la mañana surge un rumor en una ciudad que se difunde a un ritmo de e^2t+1000 personas por hora, donde t representa el número de horas transcurridas desde la aparición. Calcula el número de personas que lo habrán oído entre las diez y las doce de la mañana.

Orientación: el ritmo de difusión representa la tasa de variación instantánea del número de personas n que escuchan el rumor en función del numero de horas t trascurridas desde la aparición. Si llamamos n(t) a esta función resulta que n´(t) = e^2t+1000 de donde es fácil deducir la expresión para n(t) y por tanto la diferencia n(3)-n(1). El alumno podrá utilizar el programa Descartes para calcular valores de la exponencial e^x(*)

	Ángel Cabezudo Bueno

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001

Soluciones de los ejercicios
	1: -5·x^-6=-5/x⁶ 2: 1/(x·ln 3) 3: 7^x·ln(7) 4: 3·x²- 3 5: 1 - 5 / x² 6: 1 / (x·raiz2(x)) 7: 3·x·raiz2(x) - x²/ (2·raiz2(x))	8: x/(2·raiz2(x)) 9: -cos(x) / sen²(x) 10: sen(x) / cos²(x) 11: 2·x·ln (x) + x 12: cos(x)·ln (x) + sen(x) / x 13: (2·x²+2·x) / (2·x+1)²

Soluciones de los problemas
	1: a=1+raiz2(6)/3=1,8165; a=1-raiz2(6)/3=0,1835 2: y=-x+1; a=-1-raiz2(2)=-2.4142; a=-1+raiz2(2)=0.4142 3: Decrece en (0,1/e) y crece en (1/e,+inf). 1/e=0.3679 4: f(x)=(-1/3)x²+(4/3)x-1 5: Vértice: (-3,2) 6: f(x)=x³+2x²+5x+16 7: n(t)=0.5e^2t+1000t+k (k=constante no conocida). n(3)-n(1)=0.5(e⁶-e²)+2000=2.198 personas