Derivada de la función compuesta

	DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
	Análisis: Función derivada

1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN COMPUESTA (función de función)

Sean las funciones f(x) = x², g(x) = sen(x)

la función f lo que hace es calcular el cuadrado f(1)=1²=1, f(2)=2²=4, etc. por tanto

f(sen(x)) = sen² (x) = f(g(x)) = (f o g)(x)

es una función compuesta de g y de f que expresamos por f o g

La interpretación de f o g aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

z=g(x)=sen(x)

y después aplicamos f a z para obtener

y=f(z)=z²=sen²(x)

Recordar: (fog)(x)=f(g(x))

2. Regla de la cadena

Si pretendemos calcular la derivada de esta función a partir del conocimiento que tenemos de las funciones elementales vistas anteriormente procedamos de la siguiente forma:

lo que significa, que si variamos x una cantidad h, obtenemos una variación g(x+h)-g(x) de la función g, a su vez como la función f depende de g, esta variación de g produce una variación en f: f(g(x+h)-f(g(x))

La tasa de variación media de g(x) respecto de la variación de x es

a la vez que la tasa de variación media de f(g(x)) respecto de la variación de g(x) es

si pasamos al limite cuando x tiende a 0, también g(x+h)-g(x) tenderá a 0 por ser derivable (y por tanto continua) de lo que se deduce la siguiente regla de derivación de la función compuesta:

D_x[f(g(x))] = D_g[f(g(x)]·D_x[g(x)]

Este resultado se conoce como regla de la cadena donde la función g(x) hace de variable intermedia o de paso para derivar la función compuesta f o g respecto de la variable independiente x, que podemos expresar así:

"La derivada de (f o g)(x) respecto de x es igual al producto de la derivada de (f o g) respecto de g, por la derivada de g respecto de x".

Ejemplo1:

f(x) = sen (x²)es una función compuesta de la función potencial g(x)=x²y una trigonométrica f(g) = sen(g)

Por tanto

D_x[sen(x²)] = D_g[sen(g)]·D_x[g(x)] = cos(g)·2x =cos(x²)·2x = 2xcos(x²)

Ejemplo 2:

f(x) = sen²(x) es una función compuesta de una trigonométrica g(x)=sen(x) y de una potencial f(g)=g²

Por tanto

D_x[sen²(x)] = D_g[g²]·D_x[g(x)] = 2g·cos x = 2sen(x)·cos(x)

3. Visualización de funciones compuestas y de sus derivadas

Hay tres entradas de parámetros, función (1 a 10), derivada (0,1) y a (abcisa del punto). El parámetro derivada puesto a 1 visualiza la expresión de la derivada y su gráfica correspondiente. La abcisa del punto permite evaluar la función y su derivada en dicha abcisa.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones compuestas, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 10, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

Pulsando Inicio y poniendo el parámetro función a 0, se podrá introducir la entrada f(x) y g(x) por las funciones que el estudiante desee, aunque en este caso el programa no comprueba si la entrada de la función derivada es correcto.

1: 2^sen(x)	2: (sen (x)+1)²	3: raiz2(cos(x))	4: 4e^{-x^2}	5: ln(x²)
6: ln(sen(x))	7: sen(2x+1)	8: raiz2(x²+1)	9: sen²(x)	10: (x²-1)raiz2(x)

4. Ejercicios y problemas:

1: Calcula la derivada de cada una de las funciones siguientes:

1: f(x)=ln (x²+3x+1)	2: f(x)= ln xe^x	3: f(x)=e^{-5x^2+1}
4: f(x)=raiz2(x³)	5: f(x)=1/raiz2(x²+1)	6: ln((x-1)/(x+1))

2: Sea la función f(x)=4e^{-x^2} (*)

a) Calcular el punto (a,f(a)) de la curva donde el valor de la función coincide con el de su derivada.

b) Calcular el punto (a, f(a)) donde la tangente a la curva tiene una inclinación de 45º. Obtener la ecuación de dicha tangente.

3: Una empresa textil produce tejidos de algodón. El coste de fabricación (en miles de euros) depende de la cantidad fabricada (en metros cuadrados) según la función C(x)=20.000+20ln(1+0.5x)

a) Calcula la derivada de la función de costes y su valor en x=20.000m².

(Nota: en economía, se llama función de costes marginales a la derivada de la función de costes).

b) Si la empresa produce 20.000 m² de tela, ¿cuánto le costaría producir un m² adicional? Compara este resultado con el valor del coste marginal para x=20.000

Operadores algebraicos que se pueden emplear en las funciones f(x) y g(x):

Suma	+
Resta	-
Multiplicación	*
División	/
Potenciación	^

Algunas expresiones que admite el programa para las funciones f(x) y g(x) son:

Raíz cuadrada	sqrt(x)
Exponencial natural e^x	exp(x)
Logaritmo neperiano ln(x)	log(x)
Logaritmo decimal log₁₀(x)	log10(x)
Seno	sen(x) ó sin(x)
Coseno	cos(x)
Tangente	tan(x)
Valor absoluto	abs(x)

	Ángel Cabezudo Bueno

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001

Soluciones:

1: 1: (2x+3) / (x²+3x+1)

1: 2: (1+x) / x

1: 3: -5xe^{-5x^2+1}

1: 4: 3/2 x^1/2 = 3/2 raiz2(x)

1: 5: x / raiz2(x²+1)

1: 6: 2 / (x² --1)

2: a) (-0.5;3.115) , b) (-0.127;3.935)

3: a) C´(x)=10/(1+0.5x) ; b) 1 euro (aproximadamente)