2. CÁLCULO DE LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD-CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

EJEMPLO 1

En la escena están representadas la función f(x)=4xe^-x, y su derivada segunda f''(x)=(4x-8)e^-x

Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad procederemos:

• Resolvemos la ecuación: f''(x)=(4x-8)e^-x=0

• Soluciones: x=2

• Calculamos el signo de la segunda derivada antes y después de este valor.

x<2, f''(x)<0  cóncava en el intervalo (-¥,2)

x=2, f''(x)=0  punto de inflexión en (2,1.08)

x>2, f''(x)>0  convexa en el intervalo (2,+¥)

EJEMPLO 2

Ahora la escena muestra la función y=x/(x²-1) y su derivada segunda y=f''(x)

• Calcula la derivada: f''(x), resuelve la ecuación: f''(x)=0 y comprueba que la solución es:  x=0

• Calcula el signo de f''(x) antes y después de 0

• ¿Qué ocurre antes y después de x=-1 y de x=1?

• Observa que no pertenecen al dominio de la función, luego no son puntos de inflexión aunque cambie la concavidad.

x<-1, f''(x)<0   cóncava en el intervalo (-¥,-1)

-1<x<0, f''(x)>0  convexa en el intervalo (-1,0)

x=0 f''(0)=0 punto de inflexión en (0,0)

0<x<1, f''(x)<0   cóncava en el intervalo (0,1)

x>1 f''(x)>0  convexa en el intervalo (1,+¥)