PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Análisis
 

En numerosas ocasiones nos interesa conocer sólo el máximo o el mínimo de una función. Estos problemas a menudo requieren un planteamiento previo que, resumiendo, es el siguiente:

  1. Determinar la función de la que se quiere obtener el máximo o el mínimo. Es fácil que ésta dependa de más de una variable; en este caso buscar la relación entre ellas para que la función sólo dependa de una incógnita.

  2. Calcular el máximo o el mínimo pedido, imponiendo las condiciones necesarias en sus derivadas.

  3. Criticar la solución obtenida

Veamos un par de ejemplos.

EJEMPLO 1

Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?.

a. Determinar la función

  • Llamemos x a las alarmas de tipo B instaladas, con lo que las alarmas de tipo A serán (9-x)

  • La seguridad de la empresa viene expresada por la función f(x)=(9-x)x2/10=(9x2-x3)/10

b. Calcular el máximo

  • Calculamos f'(x)=(18x-3x2)/10  

  • Resolvemos la ecuación: f'(x)=0. Soluciones: x=0, x=6

  • Calculamos f''(x)=(18-6x)/10 y  su signo en estos valores. El máximo se obtiene en x=6

c. Criticar las soluciones

  • Deberemos instalar 6 alarmas de tipo B y 3 de tipo A

En la escena están dibujadas f' y f''. Cambia el valor de la x y podrás comprobar los resultados.

 

 

EJEMPLO 2

A un lado de un río de 1 km de anchura hay una central eléctrica y al otro lado, 8 km corriente arriba, una factoría. Tender un cable por tierra cuesta 0,3 €/metro y bajo el agua 0,5 €/metro. ¿Cuál es el tendido más económico desde la central a la factoría?.

Observa el gráfico de la escena, C y F son los puntos donde se sitúan la central y la factoría respectivamente. Pulsa sobre la flecha azul para variar x. Sea P el punto en que el cable comienza a estar bajo el agua. Continua variando x y podrás observar el resultado.

a. Determinar la función

  • Precio: miles de euros.

b. Calcular el mínimo

  • Calculamos

  • Resolvemos la ecuación: f'(x)=0. Soluciones: x=0,75 y x=-0,75 (observa que la solución negativa no tiene sentido en este caso)

  • Calculamos f''(x) y su signo en x=0,75 comprobando que efectivamente hay mínimo.

c. Criticar las soluciones

  • El tendido más económico se obtiene haciendo que el cable cruce el río a 7,25 km de la central, o por simetría, de la factoría, siendo el coste mínimo 2800 €.

Ahora puedes realizar algunos ejercicios:                  EJERCICIO 1        EJERCICIO 2        EJERCICIO 3

       
           
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001