OTRAS APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Estadística
 

Veamos a continuación cómo se puede emplear la distribución normal para aproximar una distribución binomial lo que facilita los cálculos en ésta, y por último un ejemplo de ajuste a una normal.


1.Aproximación de la binomial 2.Ajuste a una normal

1. APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR UNA NORMAL

Una distribución binomial B(n,p) se parece a una normal tanto más cuanto mayor es el producto np (o nq si q<p, siendo q=1-p). Cuando np y nq superan 5, la aproximación es casi perfecta, como se puede apreciar en la figura.

En estas condiciones:

B(n,p) se aproxima a

Podemos emplear la normal para calcular probabilidades en el caso de una distribución binomial, aunque hemos de tener en cuenta que la binomial es discreta y la normal continua, por lo que es necesario introducir un ajuste en el cálculo llamado corrección de Yates. Así:

p(X£x) = p(X'£x+0,5)          p(X<x) = p(X'£x-0.5)           p(X=x) = p(x-0,5£X'£ x+0,5)

Veamos un par de ejemplos:

1) El 35% de una población está afectado por la gripe. Se eligen 30 personas al azar.

Se trata de una B(30;0,35) que aproximamos por N(10,5;2,61)

Calcula la probabilidad de que:

  • haya exactamente 10 enfermos

P(X=10) = P(9,5 £ X' £ 10,5)

  • haya más de 5 y menos de 12 enfermos

P(5<X<12) = P(5,5£X'£11,5)

Cambia los valores de a, b y calcula con la tabla las probabilidades correspondientes

2) Se lanza una moneda 200 veces, calcula la probabilidad de que aparezca cara al menos 100 veces.¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 90 caras?

Utiliza la escena cambiando los valores de los datos.


2. AJUSTE DE UN CONJUNTO DE DATOS A UNA NORMAL

Con frecuencia conviene saber si puede suponerse que una serie de datos obtenidos experimentalmente proceden de una población distribuida normalmente.

Recordemos que en una distribución normal:

  • el 68% de los datos está en el intervalo (x-s, x+s)

  • el 95% de los datos está en el intervalo (x-2s, x+2s)

  • el 99% de los datos está en el intervalo (x-3s, x+3s)

Si calculadas la media x y la desviación típica s de nuestros datos, se cumplen aproximadamente estos porcentajes podemos considerar que la población de partida es normal. 

Veamos un ejemplo en el que seguimos un proceso un poco más elaborado:

Ejemplo

La tabla adjunta muestra la altura en cm de 100 estudiantes. ¿Es razonable suponer que estos resultados proceden de una distribución normal?

a) Calculamos la media y la desviación típica de la distribución

  • Recuerda cómo se calcula la media y la desviación típica.

  • Dibujamos el histograma de la distribución.

  • Observa que el perfil del histograma recuerda a la curva normal.

xa

xb

xi fi

xi fi

xi2 fi

155 160 157,5 8 1260    198450   
160 165 162,5 14 2275    369687,5
165 170 167,5 22 3685    617237,5
170 175 172,5 28 4830    833175   
175 180 177,5 16 2840    504100   
180 185 182,5 8 1460    266450   
185 190 187,5 4 750    140625   
  100 17100    2929725   

media 

x= 171

 desviación típica 

s= 7,50

b) Comparamos la distribución empírica con la normal N((x,s) en este caso con la N(171;7,5).

  • Tipificamos los extremos de cada intervalo y calculamos en cada caso

P(xa<x£xb)=P(za<z£zb)

 

xa

xb

fri

za

zb

p(X<xa)

p(X<xb)

p(xa<X<xb)

155 160 0,08 -2,13 -1,47 0,0164 0,0712 0,05
160 165 0,14 -1,47 -0,80 0,0712 0,2119 0,14
165 170 0,22 -0,80 -0,13 0,2119 0,4470 0,24
170 175 0,28 -0,13 0,53 0,4470 0,7031 0,26
175 180 0,16 0,53 1,20 0,7031 0,8849 0,18
180 185 0,08 1,20 1,87 0,8849 0,9690 0,08
185 190 0,04 1,87 2,53 0,9690 0,9944 0,03
media x= 171
desv. típica s=7,50

 

Comprueba en la escena los valores tipificados y utiliza la tabla N(0,1) para calcular las probabilidades.

Comparamos las probabilidades obtenidas con las frecuencias relativas y evaluamos las diferencias. En este caso, parecen suficientemente pequeñas como para aceptar que los datos provienen efectivamente de una distribución normal. 

Fíjate que este último paso es totalmente subjetivo, aunque existen métodos estadísticos con los que tomar esta decisión de forma más precisa.


     
       
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001