LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Estadística
 

Si los griegos la hubieran conocido la habrían adorado como a un Dios

Galton (1822-1911)

Entre las distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución normal. 

Fue introducida por Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX en su estudio de los errores de medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables (peso, altura, calificaciones...), en cuya distribución los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.

1.La distribución normal 2.Cálculo de probabilidades

1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 

N(m,s)  

Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de densidad es:

donde m y s coinciden respectivamente con la media y la desviación típica de la variable aleatoria. Estos parámetros son los que determinan esta distribución que designaremos por N(m,s)

La gráfica de esta función tiene forma de campana y se conoce con el nombre de campana de Gauss.

1) Observa que la forma de la campana y la situación respecto a los ejes dependen de los parámetros m (m)  y s (s)

¿Qué características tiene la normal de media 0 y desviación típica 1?. Descríbelas.

Cambia el valor de la media m y la desviación típica s en esta distribución normal y observa lo que ocurre.

2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Para una variable aleatoria continua X, la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x está determinada por el área comprendida entre la curva y el eje de abscisas desde -¥ a x, que en este caso coincide con

Para facilitar el trabajo, existen tablas que dan directamente el valor de estas áreas para el caso m=0, s=1.

Si X es una variable aleatoria con distribución normal N(m ,s) se cumple:

p(m-s £ X £ m+s)=0,6826

p(m-2s £ X £ m+2s)=0,9544

p(m-3s £ X £ m+3s)=0,9974

2.1. Utilización de la tabla N(0,1)

para ir a la tabla N(0,1) pulsa aquí

En la tabla N(0,1) aparece directamente la p(z£b) para valores de b entre 0 y 4. Observa que para valores mayores que 4 la probabilidad ya es prácticamente 1.

2) Busca en la tabla:

 

 

  • P(z £ 0,38)

  • P(z £ 1,50)

  • P(z £ 1,96)

  • P(z £ 2,345)

Cambia en la escena los valores de a, b (o arrástralos con el ratón) y observa lo que hay que hacer en otros casos.

3) Calcula en la tabla:

  • P(z >1,05)=1-P(z £ 1,05)

  • P(z ³-0,25)=P(z £ 0,25)

  • P(1,05 < z £ 1,96)

  • P(-0,25 £  z £ 1,05)

2.2. Tipificación de variables

La tabla de la distribución normal N(0,1) también nos permite calcular probabilidades relativas a cualquier otra distribución N(m,s). Para ello basta tipificar la variable es decir calcular el valor z correspondiente a los valores x indicados mediante la operación:

La variable tipificada, z, tiene una distribución N(0,1). Observa que llamaremos x a la variable de una distribución  N(m,s) cualquiera y z a la variable de la distribución N(0,1)

Cambia los valores de m y s en la distribución de la figura y observa la forma de la misma. Comprueba también cómo varía el valor z para cada caso.

4) Calcula:

  • en N(10,5); P(X £ 15)

  • en N(9,3); P(X >15)

  • en N(12,5); P(X ³ 9)

  • en N(10;3,5); P(11 £ X £ 15)

  • en N(12,3); P(10 £ X £ 14)

Observa que la gráfica de la N(m,s) está dibujada con una escala diferente a la de N(0,1). Puedes cambiarla, para verla mejor, en la parte superior de la escena.

5) Las estaturas de cierta población se distribuyen según una normal de media 168 y desviación típica 8. Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar su altura sea 170 cm. como máximo.

  • La población es N(168,8)

    Hemos de calcular la probabilidad 

     

    P(X£170)

    Calculamos el valor z y buscamos en la tabla N(0,1) la probabilidad correspondiente:

    P(X£170)= P(z£0,25) = 0,5987

6) Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,4 y desviación típica 1,2. ¿Qué porcentaje de estudiantes se puede esperar que sacasen entre 5 y 7?

Cambia en la escena m, s y la escala

       
           
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001