DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Estadística
 

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición. 

Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muestrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.

1.Distribución muestral de medias 2.Distribución muestral de proporciones

1. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.

  • Si tenemos una población normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

  • Si la población no sigue una distribución normal pero n>30, aplicando el llamado Teorema central del límite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior.
1) Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté comprendida entre 5 y 7

  • La población es N(5,8;2,4), con n=16 la distribución muestral de medias se distribuye N(5,8;0,6)

En la escena llamamos s a la desviación típica de la población. Compara los gráficos de la distribución muestral y de la distribución de la población. Estas distribuciones están dibujadas con una escala diferente a la N(0,1), puedes cambiarla con el valor ESCALA.

  • Si x es la media de la muestra hemos de calcular la probabilidad 

    P(5£x£7)=P(-1.33£z£2)=

    =P(z£2)-[1-P(z£1.33)] = 0,8854

Pulsando sobre el icono se abrirá una página con la tabla N(0,1). 

Busca en ella las probabilidades que corresponden a los valores za y zb

2) Las estaturas de cierta población se distribuyen N(168,8). Calcula la probabilidad de que en una muestra de 36 personas la altura media no difiera de la de la población en más de 1 cm.

Cambia los valores en la escena, con las flechas o escribiéndolos sobre los actuales y pulsando INTRO.  Cambia el valor de la ESCALA para verlo mejor.

2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES

En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .

  • Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población y q=1-p.
3) Si tiramos una moneda no trucada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras?

  • En una moneda no trucada la proporción de caras es 0,5, con lo que p=0,5  q=0,5  n=100

  • La distribución muestral de proporciones se distribuye

N(0,5;0,05)

  • Si llamamos p' a la proporción en la muestra hemos de calcular la probabilidad 

P(p'>0,55) = P(z>1) =

=1-P(z£1) = 1-0,8413 = 0,1587

Utiliza la tabla N(0,1) para comprobar la probabilidad correspondiente al valor z

4) Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción habitual tiene un 3% de piezas defectuosas. Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja?
Como antes, cambia los valores en la escena. Cambia también el valor de la ESCALA para verlo mejor.
       
           
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001