ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Estadística
 

En una población cuya distribución es conocida pero desconocemos algún parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa.

Un  estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es un estimador de la media poblacional, la proporción observada en la muestra es un estimador de la proporción en la población.

Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables en este caso son los estadísticos obtenidos en la muestra, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos. Recordemos que la distribución muestral indica la distribución de los valores que tomará el estimador al seleccionar distintas muestras de la población. Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media que indica el valor promedio del estimador y la desviación típica, también denominada error típico de estimación, que indica la desviación promedio que podemos esperar entre el estimador y el valor del parámetro.

Más útil es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores entre los que se encontrará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de antemano.

1.Intervalo de confianza para la media 2.Intervalo de confianza para la proporción 3.Tamaño de la muestra

1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

De una población desconocemos la media m y deseamos estimarla a partir de la media x obtenida en una muestra de tamaño n

Sabemos que si la población es normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, o sin ser la población normal es n>30, 

La distribución muestral de medias es , 

por tanto si fijamos una probabilidad 1-a, sabemos que la

 

es decir, el (1-a)% de las x está a una distancia de m inferior a

  • Entonces para un nivel de confianza 1-a, m pertenece al intervalo:  

donde za/2 es el llamado valor crítico, valor tal que P(-za/2 £ z £za/2 )=1-a, y x la media de la muestra.

  • Si la desviación típica de la población es desconocida, lo que suele ocurrir en la práctica, la aproximaremos por la de la muestra siempre que n>100 

1) Para una muestra de 81 habitantes de cierta población se obtuvo una estatura media de 167 cm. Por estudios anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población es de 8 cm. Construye un intervalo de confianza para la estatura media de la población al 95%

Con s=8 n=81, la distribución muestral de medias se distribuye N(m ; 0,89).

 

  • Para 1-a=0,95 a/2=0,025 za/2=1,96 ya que en la tabla N(0,1) obtenemos p(z£1,96)=0,975

Intervalo de confianza

(167-1,96*0,89 ; 167+1,96*0,89)=

=(167-1,74;167+1,74)=(165,26;168,74)

Calcula el intervalo a los niveles de confianza del 90% y del 99% 

Da a z, en la escena, el valor crítico que encuentres en la tabla N(0,1) para cada probabilidad.

2) En una muestra de 120 estudiantes que hicieron un examen se obtuvo una nota media de 5,6 y una desviación típica de 2,5. Calcula un intervalo de confianza para la nota media del examen al 95%

Utiliza la escena anterior cambiando los valores y la escala

2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

Si deseamos estimar la proporción p con que una determinada característica se da en una población, a partir de la proporción p' observada en una muestra de tamaño n, sabemos que

Como la proporción p de la población es desconocida, se aproxima por la de la muestra siempre que n>100.

  • Entonces para un nivel de confianza 1-a, p pertenece al intervalo:
3) Una máquina fabrica piezas de precisión y en una caja de 200 piezas, recibida por un cliente han aparecido 7 piezas defectuosas, a un nivel de confianza del 99% ¿entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de piezas defectuosas fabricadas por la máquina?

  • La proporción de piezas defectuosas en la muestra es 7/200=0,035

Con p'=0,035  q'=0,965  n=200, la distribución muestral de proporciones se distribuye N(p ; 0,013).

Para 1-a=0,99 a/2=0,005 za/2=2,575

Intervalo de confianza

(0,035-2,575*0,013;0,035+2,575*0,013)=

=(0,002;0,068)

Calcula el intervalo a un nivel de confianza del 90% y al 95%

Calcula en la tabla N(0,1) los valores críticos y cambia en la escena el valor z
4) Tiramos 200 veces una moneda y 120 sale cara; al 95% ¿entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de caras obtenidas con la moneda?
Utiliza la escena anterior cambiando los valores y la escala

3. INTERVALO DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE LA MUESTRA

La amplitud del intervalo de confianza depende del valor de

Con un nivel de confianza del (1-a)100% admitimos que la diferencia entre la estimación para la media a partir de la muestra y su valor real es menor que E, que llamaremos error máximo admisible.

  • El tamaño de la muestra depende del nivel de confianza que se desee para los resultados y de la amplitud del intervalo de confianza, es decir del error máximo que se esté dispuesto a admitir. Fijados estos, 1-a y E, podemos calcular el tamaño mínimo de la muestra que emplearemos.

En el caso de estimar proporciones con lo que

5) La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 8 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 90%.

Cambia en la escena el valor de E y observa cómo varía el tamaño de la muestra. Después pulsa el botón INICIO para volver a los valores iniciales.

  • Para 1-a=0,90 a/2=0,05 za/2=1,645

E=1

n=(1,645*8/1)² = 173

Fíjate cómo n varía también al cambiar el valor de z.

Calcula el tamaño que debería tener la muestra al nivel de confianza 95%

Calcula el tamaño que debería tener la muestra para reducir el intervalo calculado en el ejercicio 1 a la mitad, con el mismo nivel de confianza.
       
           
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001