LA HIPÉRBOLA

1.-Construcción    2.-Definición    3.-Elementos    

1.- CONSTRUCCIÓN 

¿Cómo se dibuja una Hipérbola?

Se fijan dos puntos F y F´  (que llamaremos Focos) y se elige una regla de longitud L, mayor que la distancia FF´.

Se Toma un hilo de longitud H, tal que  L-H se  menor que FF´, se fija un extremo del  hilo en el extremo T de la regla, y el otro extremo del hilo se fija  se une a uno de los focos por ejemplo F. El estremo libre de la regla se apoya sobre el otro  foco F´.Cogemos un lápiz P y tensando el hilo llevamos el lápiz junto a la regla. Deslizamos el lápiz sobre la regla manteniendo el hilo tenso, al desplazar el lápiz sobre la regla esta girara. De esta forma se traza una rama de la hipérbola.

Para trazar la otra rama  se apoya la regla en el otro foco y se hace lo mismo.
En esta escena vas a dibujar una hiperbola, con las siguientes condiciones la regla ( segmento azul) mide 15 cm el hilo (color turquesa)  9 cm y la distancia entre los focos (color amarillo) es 10 cm
 
Para dibujar la rama derecha haz  que el control Rama  sea 1, para la rama izquierda haz Rama =-1.

Luego con el ratón desplaza  el punto P y verás como se dibuja la hipérbola en color amarillo.
Vamos a considerar los focos de la hipérbola en el eje OX, de coordenadas F(c,0) y F´(-c,0). 

A la cantidad L - H la deignaremos por 2a

2.- DEFINICIÓN
La longitud del hilo H y la longitud de la regla L no se puede variar :

L= PF´ +PT  

  H = PT  + PF  

 PF   - PF´  = H - PT  - ( L - PT  ) = H - L 

Una vez fijados los focos F y F´, la longitud de la regla L  y la del hilo H , se puede comprobar que la diferencia de las distancias de un punto P de la hipérbola a los focos es constante e igual a  |H - L|.

Esta es una propiedad que tienen los puntos de la hipérbola.

En la siguiente escena vamos a comprobar esta propiedad.
 
 
  1. Mueve el punto P (pincha sobre el punto y mueve el ratón) comprueba que la diferencia  de la medida de los  segmentos  PF y PF´ , es constante e igual a 2a
  1. Cambia la posición del foco F (pincha sobre el punto y desplazalo con el ratón) y observa que sucede lo mismo.
  1. Haz  a = 4 y vuelve a comprobar la propiedad.
  2. Comprueba para distintos valores de la longitud de la cuerda y distintas posiciones del foco que siempre ocurre lo mismo.
  3. Cómo es el dibujo si a = c

 

Atendiendo a esta propiedad podemos definir la hipérbola de la siguiente manera:

Definición de Hipérbola:

La Hipérbola  es el conjunto de los puntos P del plano  cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos (F y F´) es una cantidad constante.

3.- ELEMENTOS

En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

  1. Los Radios Vectores de un punto son los segmentos PF y PF´.

  2. Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos F y F´.

  3. Eje Secundario: Es la mediatriz del segmento FF´.

  4. Centro de la hipérbola: Es el punto O en el que se cortan los ejes.

  5. Distancia Focal: Es el segmento FF´ y su longitud es 2c.

  6. Vértices: Son los puntos A , A´, B , B´ 

    1. Los vértices A , A´  son los cortes del eje Focal con la hipérbola.

    2. Los vértices B , B´  son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF´

  7. Eje Real o Transverso:  Es el segmento AA´ y su longitud es 2a.

  8. Eje Imaginario o no Transverso: Es el segmento BB´ y su longitud es 2b.

En la siguiente escena vas a conocer los distintos elementos de la hipérbola.

 
 
1.-Selecciona en el control elemento el número correspondiente al elemento que quieras ver.
  1. Radio Vectores
  2. Eje Focal
  3. Eje Secundario
  4. Centro de la hipérbola
  5. Distancia Focal
  6. Vértices
  7. Eje Real
  8. Eje Imaginario

 

 
 
  1.  Haz  a = cl y mira los elementos y longitudes de la hipérbola.Anotalo en tu cuaderno..Que ocurre si c < a
  2. Calcula y escribe  en tu cuaderno  las longitudes de los elementos de una hipérbola de parámetros  a= 5  , c = 13  la solución  la puedes comprobar con la escena
  3. Calcula y escribe  en tu cuaderno  las longitudes de los elementos de una hipérbola si el eje imaginario mide 16 cm , el eje real 12 cm y la distancia focal 20 cm.
 

INDICEMAS HIPERBOLA

  Miguel Ángel Cabezón Ochoa
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003