LA HIPÉRBOLA


4-Relación    5-Excentricidad    6.-Asíntotas 


4.- Relación entre a,b,c:  c2 = a2 + b2

Observa la escena y fijate que a,b,c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.En esta escena vamos a comprobar que la relación c2 = a2 + b se cumple en cualquier hipérbola.Recuerda que 2a es la medida del eje real , 2b es la medida del eje imaginario y 2c es la distancia focal.

 
  1. Comprueba para distintos valores de a y c que se cumple la relación.
  1. Calcula en tu cuaderno el valor que falta, luego comprueba en la escena que lo has hecho bien
a b c
8 6 ?
? 12 13
9 ? 15
  1. ¿Puede se c=0?
 


5.- EXCENTRICIDAD 


Habrás observado en las distintas escenas que unas hipérbolas tienen las ramas más abiertas que otras. Esta característica  de ser más abierta o más cerrada se mide con un número llamado  excentricidad.   con  c > a  luego será e>1.

Por tanto fijado el valor de a , se tiene que cuánto más próxima esta la excentricidad a 1 más cerradas son las ramas de la hipérbola . Por el contrario cúanto mayor es la excentricidad  más abiertas son las ramas de la hipérbola.

 
  1. Mueve el control  excentricidad y observa como cambia el aspecto de la hipérbola en función de su valor.
  2. ¿Cómo es el dibujo de la hipérbola si e=1?
  3. ¿A que se acerca el dibujo de la hipérbola si la excentricidad se hace grande?


6.- ASINTOTAS

Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se acerca idefinidamente sin llegar a tocarla.
Para trazar las asíntotas de la hipérbola se traza primero el rectángulo de lados paralelos a los ejes y que tienen por dimensiones 2a y 2b y su centro coincide con el de la hiperbola. Luego se trazan las  diagonales del rectángulo que son las asíntotas de la hipérbola.

En esta escena vamos a comprobar que la asíntota se acerca a la gráfica tanto como queramos para valores grandes de x, es decir para un valor de x el valor de y en la recta va a ser  casi igual que el valor de y en la hipérbola   Para verlo utiliza el zoom y mueve los ejes. En la escena se ven  y los dos valores de y su diferencia.

 
  1. Mueve el control (Punto verde) y observa cual es el valor de la y en la recta y en la hipérbola. Fijate que su diferencia se acerca a cero conforme alejamos el control

 

 
  1. Dibuja en tu cuaderno las asíntotas y la hipérbola de parámetros a=3 b=5


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  Miguel Ángel Cabezón Ochoa
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003