CIRCUNFERENCIA 1
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA

Dado un punto P(x0,y0) y una circunferencia c: (x-a)2+(y-b)2=r2  estudiar la posición relativa de P respecto de c. ¿Cómo varía la potencia de P respecto de c?.

 

En la siguiente escena elige un punto P y comprueba, variando m, que si A y B son los puntos de corte de cualquier recta que pasa por P y es secante a la circunferencia, el producto PA·PB es constante (en términos vectoriales PA·PB es el producto escalar de los vectores PA y PB). El valor de esta constante recibe el nombre de potencia de P respecto de c y se suele representar por Potc(P).

De todas las secantes que pasan por P consideremos la que pasa por el centro C(a,b) de c. Entonces si d=d(P,C),  Potc(P)=PA·PB=(d+r)·(d-r)=d2-r2=(x-a)2+(y-b)2-r2.

1.- Halla la potencia de los puntos P(-6,0), P(-4,0) y P(-3,1) respecto de la circunferencia de centro C(0,0) y radio r=4. ¿Cuál es la posición relativa de P y c? . Escribe el criterio que relaciona posición relativa y potencia.
Para mover el punto P puedes arrastrarlo con el ratón, presionar los pulsadores rojo y azul de x0 e y0 o escribir el número en la celda blanca y pulsar la tecla Intro.

2.- Pulsa el botón inicio y arrastra el punto P hasta que encuentres el punto de mínima potencia. ¿De qué punto se trata?. ¿Cuánto vale su potencia y qué relación hay entre ésta y el radio?  

3.- Para la circunferencia inicial c, halla el lugar geométrico de los puntos cuya potencia respecto a c es 9.

2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dada una recta r: Ax+By+C=0 y una circunferencia c: (x-a)2+(y-b)2=r2 estudiar la posición relativa de ambas. Halla, cuando existan, los puntos de intersección.

Varía los valores de los parámetros (o controles numéricos) de la escena y observa el resultado. 

Para el estudio de la posición relativa de r y c consideramos el sistema formado por sus ecuaciones. Si un punto P pertenece a la intersección de la recta y la circunferencia debe verificar sus ecuaciones y, por tanto, será solución del sistema. El número de éstas nos permite determinar su posición relativa. 
1.-  Resuelve el problema para r: x+y+1=0 y c: (x-4)2+y2 =32. ¿Qué distancia hay entre la recta r y el centro C de la circunferencia c?

2.- Resuelve el problema para r: x+y+1=0 y c: (x-2)2+y2 =32. ¿Qué distancia hay entre la recta r y el centro C de la circunferencia c?

3.- Resuelve el problema para r: y=-x-1 y c: (x-2)2+(y-3)2 =(3Ö2)2 "3Ö2 se escribe 3*sqrt(2)" . ¿Qué distancia hay entre la recta r y el centro C de la circunferencia c?

4.- A la vista de los apartados anteriores y en función de la distancia de r al centro de la circunferencia c, ¿qué criterio se puede utilizar para saber la posición relativa de una recta y de una circunferencia?.

3. PRÁCTICA TERCERA
Dadas dos circunferencias c: (x-a)2+(y-b)2=r2 y c´: (x-a1)2+(y-b1)2=r12 hallar el eje radical.

La escena que viene a continuación nos da la solución. Varía los valores de los controles numéricos y observa el resultado. Se define eje radical de dos circunferencias c y c´ como el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de ambas. Este lugar geométrico es una recta.

1.- Resuelve el problema para las circunferencias c: (x+2)2+(y-1)2=32 y c´: (x-1)2+(y+2)2=22 y comprueba que el eje radical obtenido es perpendicular al segmento CC´que une los centros de c y c´. Compara los resultados con los que aparecen en la escena. 

La ecuación del eje radical es la recta que resulta de la igualdad PotC(P)=PotC´(P), siendo P un punto de coordenadas (x,y).

2.- Resuelve el problema para los valores a=-4, b=1, r=3, a1=1, b1=1 y r1=2 y comprueba que el eje radical obtenido es perpendicular al segmento CC´que une los centros de c y c´. 

3.-Lo mismo  para los valores a=-2, b=1, r=2, a1=5, b1=1 y r1=3 . 

4. PRÁCTICA CUARTA
Hallar el centro radical de tres circunferencias c, c´y c´´ de centros C(a,b), C´(a1,b1), C´´(a2,b2) y radios r, r1 y r2.

Varía los valores de los controles numéricos (a2, b2 y r2 están en la parte superior) y observa la escena. En ella vemos que el lugar geométrico pedido es un punto.

El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias, por tanto pertenecerá a los tres ejes radicales de las circunferencias correspondientes a cada par de circunferencias.

1.-  Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena (a=2, b=0, r=2, a1=0, b1=4, r1=2, a2=1, b2=-4, r=3).  

 

Para hallar el centro radical P basta resolver el sistema formado por las ecuaciones de dos ejes radicales. P tiene que verificar la ecuación del otro eje.

 

2.- Introduce los valores a=1, b=0, r=2, a1=1, b1=4, r1=2, a2=1, b2=-4, r=3. ¿Qué ocurre en este caso?  

       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001