LA CIRCUNFERENCIA
Bloque: Geometría

1. PRÁCTICA PRIMERA

Dados dos puntos del plano A(Ax,Ay) y B(Bx,By) hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que el producto escalar de los vectores PA y PB es igual a cero.

La siguiente escena nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico.

1.- Calcula analíticamente la ecuación de la circunferencia correspondiente a los valores iniciales de la escena "puntos A(-3,0) y B(3,0) " y comprueba que el centro y el radio coinciden con los obtenidos en la misma.
Arrastra convenientemente con el ratón el punto de control P y observa los valores que aparecen en los textos de la escena. Prueba con nuevos puntos A y B.

2.- Lo mismo que en el apartado anterior para los puntos  A(-2,-1) y B(2,2)


2. PRÁCTICA SEGUNDA

Dados tres puntos del plano A(Ax,Ay), B(Bx,By) y C(Cx,Cy) hallar la ecuación de la circunferencia que pasa ellos.

La siguiente escena nos permite visualizar la solución y nos sugiere un método para llegar a ella. En los extremos superior e inferior de la escena aparece la ecuación de la circunferencia solución, respectivamente en la forma (x-a)²+(y-b)²=r² y en la forma x²+y²+mx+ny+p=0. También se pueden ver las ecuaciones de las mediatrices correspondientes a los segmentos AB y BC.

Prueba con nuevos puntos A, B y C y observa qué pasa. 

1.Calcula analíticamente la ecuación de la circunferencia correspondiente a los valores iniciales de la escena "puntos A(3,-4), B(-3,2) y C(3,4)"  y comprueba el resultado.

2.-Lo mismo que en el apartado anterior para los puntos A(5,-4), B(-2,4) y C(4,4).

3.-¿Qué ocurre al intentar calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos que están alineados?

4.-En relación con el triángulo de vértices A, B y C ¿qué nombre recibe la circunferencia que pasa por ellos?


3. PRÁCTICA TERCERA
Hallar la ecuación de las circunferencias que tienen su centro en la recta r: Mx+Ny+R=0 y son tangentes a las rectas r´: x+3y+4=0 y r´´: x-y=0.

La siguiente escena nos permite visualizar la solución y nos sugiere un método para llegar a ella si tenemos en cuenta que el centro de las circunferencias solución está en la recta r y equidista de las rectas tangentes r' y r''. 

Prueba con nuevos valores para M, N y R y observa qué pasa. 

1.-Calcula analíticamente la ecuación de la/s circunferencia/s correspondiente/s a los valores iniciales de la escena " M=1, N=1 y R= -1"  y comprueba que el resultado coincide con el de la escena.

2.-Introduce los valores M=1, N= -1 y R=4 y observa el resultado. ¿Cómo son lar rectas r y r''?. Escribe las ecuaciones de las circunferencias solución.

3.-Introduce unos valores de M, N y R para que la recta r sea paralela a r' y obtén las ecuaciones de las circunferencias solución. 

4.-¿Qué condición tienen que cumplir M, N y R para que la recta Mx+Ny+R=0 pase por el punto (-1,-1) (punto de intersección de las rectas dadas y r´´). Elige algún valor para M, N y R de manera que se cumpla la condición anterior. ¿Qué pasa en este caso?. Justifica la respuesta.


4. PRÁCTICA CUARTA
Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas iguales de una circunferencia y el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas con un extremo común fijo.

La siguiente escena consta de dos circunferencias y de un texto. La circunferencia grande nos va a generar los lugares geométricos buscados. La pequeña, que acompasa a la grande, sirve para describir y reconocer,  por identificación de sus colores, los ángulos alfa y beta que animan la escena. El texto también nos proporciona las coordenadas de los extremos de las cuerdas así como las de su punto medio.

1.- Da a alfa el valor 0º (beta permanece con 90º), limpia la escena y presiona con el ratón sobre el botón incrementador del ángulo alfa (flecha azul) hasta dar una vuelta completa (pasar de 0º a 360º). Observa el lugar geométrico resultante y calcula su ecuación.

Haz clic con el ratón sobre el botón animar (esquina inferior derecha de la escena) y observa los lugares geométricos engendrados por los puntos medios de las cuerdas, tanto en la primera fase de la animación (cuerdas iguales) como en la segunda fase (cuerdas con un extremo común fijo).
 2.- Adjudica a alfa el valor 0º y a beta 60º. Limpia la escena e incrementa alfa, como en el apartado anterior, hasta dar una vuelta completa. Observa el triángulo OAB del círculo pequeño y demuestra que la circunferencia obtenida tiene de radio la ordenada de B. Escribe su ecuación.

3.- Limpia la escena y adjudica 0º a alfa y 90º a beta para que los puntos A y B tengan de coordenadas (4,0) y (0,4) respectivamente. Presiona con el ratón sobre el botón incrementador del ángulo beta (flecha azul) hasta dar una vuelta completa (pasar de 90º a 450º). Observa el lugar geométrico resultante y calcula su ecuación. 

4.- Sin limpiar la escena escribe en la casilla de alfa el valor 90º y acéptalo. Realiza una vuelta completa con beta (en sentido positivo o negativo). Escribe la ecuación del lugar geométrico resultante.

5.-Sin limpiar la escena repite el proceso anterior primero dando a alfa el valor 180º y después 270º. 


       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001