LA ELIPSE
Bloque :Geometría
 

1. PRÁCTICA PRIMERA
Dadas dos circunferencias concéntricas de centro O y radios a y b (a>b) trazamos un radio cualquiera OQ que corta en B y Q respectivamente a la circunferencia menor y a la mayor. La paralela por B al eje de abscisas y la paralela por Q al eje de ordenadas se cortan en un punto P(x,y). Hallar el lugar geométrico de los puntos P cuando el punto Q se mueve por la circunferencia principal.

La siguiente escena nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello presiona con el ratón sobre la flecha incrementadora del valor de t (ángulo en radianes) hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar.

1.-  Utilizando la semejanza de triángulos y/o la trigonometría y teniendo en cuenta que el punto P(x,y) tiene la misma abscisa que Q y la misma ordenada que B demuestra que x=a·cost  e  y= b·sent (ecuaciones paramétricas de la elipse). Comprueba a continuación que estos valores verifican la ecuación cartesiana  

x²/a²+y²/b²=1

2.-  Da a b el valor 4 y limpia la escena. Genera la elipse correspondiente pulsando con el ratón sobre el ángulo t hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar. Halla la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica de dicha elipse, los focos, los vértices y la excentricidad.

3.-  Lo mismo que en el apartado anterior para el valor b=2.

4.- ¿Qué pasa con la excentricidad cuando b disminuye ?. ¿Cómo afecta a la forma de la elipse?. De todas las elipses que podemos generar con esta escena ¿cuál es la de menor excentricidad y a qué valor de b corresponde?


2. PRÁCTICA SEGUNDA
Hallar el lugar geométrico de un punto intermedio P de un segmento AB de longitud r que se apoya en los ejes coordenados.

La escena que viene a continuación nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello arrastra el punto de control P hasta dar una vuelta completa alrededor del origen de coordenadas y verás que el rastro que deja es una elipse. 

1.-  Resuelve el problema analíticamente siendo r=4 y P un punto situado a  distancia 1 de A. Para ello toma P(x,y), A(m,0) y B(0,n) y teniendo en cuenta que m²+n²=r²=16 y que las componentes del vector AB son iguales a 4 veces las del vector AP elimina los parámetros m y n. Comprueba la solución obtenida con la que nos aporta la escena. ¿Cuáles son los focos?

2.-Limpia la escena y haz r=7. Arrastra el punto de control P hasta dar una vuelta completa alrededor del origen de coordenadas. Escribe la ecuación de la elipse engendrada por el rastro que deja el punto P.

3.-¿Qué valor hay que dar a r para que el lugar geométrico obtenido sea una circunferencia?. Dibújala arrastrando el punto P y escribe su ecuación


3. PRÁCTICA TERCERA
Dada una circunferencia de centro F´y un punto F interior a ella, hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan del punto F y de la circunferencia.

La presente escena nos facilita la visualización del lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar. Simultáneamente has de observar en los textos que PM es igual a PF y por lo tanto P verifica las condiciones del lugar e identificarás éste observando los valores de las expresiones que constituyen la definición bifocal de las cónicas con centro, es decir, PF+PF´=cte. y |PF-PF´|=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros (o controles numéricos) de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR.

1.- Resuelve analíticamente el problema siendo los datos los valores iniciales de la escena, es decir, r=5,  (-1.50,0) y F(1.50,0) y teniendo en cuenta que la distancia de un punto a una circunferencia es, si el punto es interior, la diferencia entre el radio y la distancia del punto al centro. Comprueba que la ecuación cartesiana obtenida se corresponde con los datos de la cónica de la escena.

2.-Escribe los valores r=5, a=0 y Fx=3, pulsa el botón limpiar y haz que el punto M dé una vuelta completa incrementando t o simplemente haciendo clic sobre el botón animar. Escribe la ecuación de la cónica resultante y calcula su excentricidad.

3.- Escribe los valores r=5, a= -1.50 y Fx= -1.50, pulsa el botón limpiar y haz que M dé una vuelta completa. Identifica la cónica resultante y escribe su ecuación.

4.- Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 3.50 en la casilla de Fx,  haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.

5.- Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 5.00 en la casilla de Fx,  haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.


4. PRÁCTICA CUARTA
Consideremos la elipse centrada en el origen de coordenadas que tiene excentricidad e (e<1) y cuyo semieje mayor es a. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias al punto F(a·e,0) y a la recta x=a/e es igual a e coincide con dicha elipse.

La escena que sigue nos permite comprobar la afirmación anterior. Para ello arrastra el punto de control P con el ratón y observa los valores que toman los textos: PF/PR vale e y PF+PF´=cte.

1.-  Demostrar analíticamente la proposición del enunciado tomando como datos los valores iniciales de la escena (a=5 ; e=0.80). Halla directamente la ecuación cartesiana de la elipse de la escena para los citados valores y comprueba que coincide con la ecuación del lugar geométrico que has hallado.

2.- Reduce la escala/zoom a 24, da a a el valor -5 y a e el valor 0.8 y arrastra el punto P hasta dar una vuelta completa. ¿Qué observas?. Escribe la ecuación del lugar geométrico.

3.- Haz clic en el botón inicio, pon e=1.20 y arrastra el punto de control P. ¿Cuál es el lugar geométrico obtenido?.


       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001