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LA ELIPSE |
| Bloque :Geometría | |
| 1. PRÁCTICA PRIMERA | |
| Dadas
dos circunferencias concéntricas de centro O y radios a y b (a>b)
trazamos un radio cualquiera OQ que corta en B y Q respectivamente a
la circunferencia menor y a la mayor. La paralela por B al eje de
abscisas y la paralela por Q al eje de ordenadas se cortan en un punto
P(x,y). Hallar el lugar geométrico de los puntos P cuando el punto Q
se mueve por la circunferencia principal.
La siguiente escena nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello presiona con el ratón sobre la flecha incrementadora del valor de t (ángulo en radianes) hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar. |
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| 1.-
Utilizando la semejanza de triángulos y/o la
trigonometría y teniendo en cuenta que el punto P(x,y) tiene
la misma abscisa que Q y la misma ordenada que B demuestra
que x=a·cost e y= b·sent (ecuaciones paramétricas de la
elipse). Comprueba a continuación que estos valores verifican la
ecuación cartesiana
x²/a²+y²/b²=1 2.- Da a b el valor 4 y limpia la escena. Genera la elipse correspondiente pulsando con el ratón sobre el ángulo t hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar. Halla la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica de dicha elipse, los focos, los vértices y la excentricidad. 3.- Lo mismo que en el apartado anterior para el valor b=2. |
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4.- ¿Qué pasa con la excentricidad cuando b disminuye ?. ¿Cómo afecta a la forma de la elipse?. De todas las elipses que podemos generar con esta escena ¿cuál es la de menor excentricidad y a qué valor de b corresponde? |
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| 2. PRÁCTICA SEGUNDA | |
| Hallar
el lugar geométrico de un punto intermedio P de un segmento AB de
longitud r que se apoya en los ejes coordenados.
La escena que viene a continuación nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello arrastra el punto de control P hasta dar una vuelta completa alrededor del origen de coordenadas y verás que el rastro que deja es una elipse. |
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| 1.- Resuelve el problema analíticamente siendo r=4 y
P un punto situado a distancia 1 de A. Para ello
toma P(x,y), A(m,0) y B(0,n) y teniendo en cuenta
que m²+n²=r²=16 y que las
componentes del vector AB son iguales a 4 veces las del vector AP
elimina los parámetros m y n. Comprueba la solución obtenida con la
que nos aporta la escena. ¿Cuáles son los focos?
2.-Limpia la escena y haz r=7. Arrastra el punto de control P hasta dar una vuelta completa alrededor del origen de coordenadas. Escribe la ecuación de la elipse engendrada por el rastro que deja el punto P. 3.-¿Qué valor hay que dar a r para que el lugar geométrico obtenido sea una circunferencia?. Dibújala arrastrando el punto P y escribe su ecuación |
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| 3. PRÁCTICA TERCERA | |
| Dada
una circunferencia de centro F´y un punto F interior a ella, hallar
el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan del
punto F y de la circunferencia.
La presente escena nos facilita la visualización del lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar. Simultáneamente has de observar en los textos que PM es igual a PF y por lo tanto P verifica las condiciones del lugar e identificarás éste observando los valores de las expresiones que constituyen la definición bifocal de las cónicas con centro, es decir, PF+PF´=cte. y |PF-PF´|=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros (o controles numéricos) de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR. |
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1.- Resuelve analíticamente el problema siendo los datos los valores iniciales de la escena, es decir, r=5, F´(-1.50,0) y F(1.50,0) y teniendo en cuenta que la distancia de un punto a una circunferencia es, si el punto es interior, la diferencia entre el radio y la distancia del punto al centro. Comprueba que la ecuación cartesiana obtenida se corresponde con los datos de la cónica de la escena. 2.-Escribe los valores r=5, a=0 y Fx=3, pulsa el botón limpiar y haz que el punto M dé una vuelta completa incrementando t o simplemente haciendo clic sobre el botón animar. Escribe la ecuación de la cónica resultante y calcula su excentricidad. |
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3.- Escribe los valores r=5, a= -1.50 y Fx= -1.50, pulsa el botón limpiar y haz que M dé una vuelta completa. Identifica la cónica resultante y escribe su ecuación. 4.- Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 3.50 en la casilla de Fx, haz clic en el botón limpiar y observa el resultado. 5.- Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 5.00 en la casilla de Fx, haz clic en el botón limpiar y observa el resultado. |
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| 4. PRÁCTICA CUARTA | |
| Consideremos
la elipse centrada en el origen de coordenadas que tiene excentricidad
e (e<1) y cuyo semieje mayor es a. Demostrar que el
lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias al
punto F(a·e,0) y a la recta x=a/e es igual a e
coincide con dicha elipse.
La escena que sigue nos permite comprobar la afirmación anterior. Para ello arrastra el punto de control P con el ratón y observa los valores que toman los textos: PF/PR vale e y PF+PF´=cte. |
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1.- Demostrar analíticamente la proposición del enunciado tomando como datos los valores iniciales de la escena (a=5 ; e=0.80). Halla directamente la ecuación cartesiana de la elipse de la escena para los citados valores y comprueba que coincide con la ecuación del lugar geométrico que has hallado. 2.- Reduce la escala/zoom a 24, da a a el valor -5 y a e el valor 0.8 y arrastra el punto P hasta dar una vuelta completa. ¿Qué observas?. Escribe la ecuación del lugar geométrico. 3.- Haz clic en el botón inicio, pon e=1.20 y arrastra el punto de control P. ¿Cuál es el lugar geométrico obtenido?. |
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| Javier de la Escosura Caballero | ||
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| © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001 | ||