HIPÉRBOLA 3
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA
Dado un punto P(P.x,P.y) y una hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas, centro C(x0,y0) y semiejes a y b, hallar la posición relativa del punto  P respecto a la hipérbola.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena x0, y0, a, b y mueve el punto P arrastrándolo con el ratón (o variando los controles numéricos P.x y P.y). En los textos de la escena observa cómo varía |PF-PF´| según la posición de P.

Los focos F y F´ tienen de ordenada y0 y de abscisas x0+c y x0-c respectivamente, siendo c la semidistancia focal (c2=a2+b2).
1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena ( x0=4, y0=2, a=3.0, b=4.0, P.x=5.0 y P.y=5.0). En el primer miembro de la ecuación de la elipse sustituye x e y por los valores de P.x y P.y y compáralo con 1.
Recuerda la definición bifocal de hipérbola: lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican |PF-PF´|=2a, siendo F y F´...

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=4, y0=2, a=3.0, b=4.0, P.x=10.0 y P.y=5.0

3.- Igual que antes para los valores x0=4, y0=2, a=3.0, b=4.0, P.x=7.0 y P.y=2.0

4.- A la vista de los apartados anteriores escribe dos criterios diferentes para estudiar la posición relativa de un punto y de una hipérbola. 

5.- Elige una hipérbola cualquiera y un punto exterior a ella (por ejemplo, para los valores iniciales de la escena). Observa la escena y justifica cada paso de la siguiente cadena de igualdades/desigualdades: PF´-PF=MF´-PM-PF=MF´-(PF+PM)<MF´-MF=2a. Relaciónalo con los apartados anteriores.
2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dada una recta r: Ax+By+C=0 y una hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados, centro C(x0,y0) y semiejes a y b, hallar la posición relativa de la recta r y de la hipérbola.

Una recta, respecto de una hipérbola, puede ser  exterior, si no tiene puntos comunes con ella; secante, si tiene dos puntos comunes; y tangente si tiene un punto en común (punto doble).

El sistema formado por las ecuaciones de la hipérbola y de la recta es un sistema de segundo grado cuya discusión siempre da lugar a una de las situaciones anteriores. 

1.- Estudia la posición relativa de la hipérbola y de la recta correspondientes a los valores iniciales de la escena. Halla los puntos comunes si existen.
El botón Inicio restaura los valores iniciales de la escena.

2.-Lo mismo que antes para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=1, C=5.

3.-Resuelve la práctica para x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=1, C=-4.

4.-Para la hipérbola inicial elige tres rectas horizontales (dando valores a A, B y C)  de manera que sean exterior, secante y tangente respectivamente.
3. PRÁCTICA TERCERA
Dados los números a y c consideremos la circunferencia C de centro F´(-c,0) y radio 2a, es decir, C: (x+c)2+y2=(2a)2. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias C´que son tangentes a  C  y pasan por el punto F(c,0) "cuando F es exterior a C".

La siguiente escena nos dibuja el lugar geométrico pedido sin más que variar los valores de los controles numéricos a y c de la escena y arrastrar el punto P. Observa el resultado. 

Para la resolución analítica del problema, si C´: (x-x0)2+(y-y0)2=r2 es la circunferencia cuyo centro Q(x0,y0) describe el lugar geométrico que buscamos, hemos de tener en cuenta que como C´pasa por F(c,0), se tiene que (c-x0)2+y02=r2  (*) y, como C y C´son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es igual a la suma entre sus radios, es decir, Ö((x0+c)2+y02)=2a+r  (**). Eliminando r entre las ecuaciones  (*) y  (**) se obtiene la ecuación del lugar.

1) Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (a=3, c=5).
El botón inicio restaura los valores iniciales.

2) ¿Qué lugar geométrico se obtendrá para a=4 y c=5?.

El botón Limpiar borra el rastro del punto P que describe el lugar geométrico.
       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2002