HIPÉRBOLA 4
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA
Dada una hipérbola  x2/a2-y2/b2=1 y un punto P(p,q) hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola que pasan por P y las coordenadas de los puntos de tangencia.

En la siguiente escena puedes elegir una hipérbola asignando valores a a y b y comprobar gráficamente que el número de tangentes depende de la posición del punto con respecto a la hipérbola. Para ello da valores a las coordenadas de P (controles p y q) de manera que se obtengan puntos exteriores (pertenecientes a las asíntotas o no), interiores y de la elipse. Simultáneamente aparecen en los textos de la escena, cuando existen, las ecuaciones de las tangentes y las coordenadas de los puntos de tangencia. Para el cálculo de tangentes y puntos de tangencia puedes utilizar cualquier fórmula o método que hayas visto en clase o inspirarte en la propia escena haciendo clic en el botón animar. Ten en cuenta que la condición de tangencia de una recta del haz obliga al sistema formado por su ecuación y por la de la hipérbola a tener solución única (discriminante nulo en la ecuación resultante).
1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (a=Ö20, b=Ö5, p=6, q=2).

2.- Resuelve el problema analíticamente para los valores (a=3, b=2, p=3, q=2). 

3.- Resuelve el problema analíticamente para los valores (a=Ö2, b=1, p=0, q=1).

4.- Adjudica al control numérico ayuda el valor 1 y observa el “mapa” de colores que aparece. Indica, según P pertenezca a cada zona de color, el número de tangentes a la hipérbola que se pueden trazar desde él.
2. PRÁCTICA SEGUNDA

Se traza la tangente a una hipérbola en uno de sus puntos P.

a) Demostrar que el punto medio del segmento de tangente MN comprendido entre las asíntotas es el punto de tangencia P.

b) Demostrar que el área del triángulo MNO es independiente del punto P elegido.

La presente escena nos sitúa en el contexto del problema. Arrastra el control gráfico P con el ratón y observa los textos de la escena. Para el apartado b) da previamente el valor 1 al control numérico ayuda
1.- Resuelve analíticamente el problema siendo los datos los valores iniciales de la escena (a=4, b=5, P.x=5 y P.y=6). Puesto que la demostración del apartado b) puede resultar complicada calcula el área del triángulo MNO sólo en dos casos: para los valores iniciales de la escena y para los valores (a=4, b=5, P.x=4 y P.y=0) “basta hacer clic en inicio y P.y=0” . Compara los resultados.

 

El botón Inicio restaura los valores iniciales.
3. PRÁCTICA TERCERA
Se considera la hipérbola equilátera cuya ecuación, referida a sus asíntotas es x·y=k. Halla los vértices A y A´, los semiejes a y b, la semidistancia focal c, los focos F y F´ y comprueba que la excentricidad es, como en cualquier hipérbola equilátera, Ö2.

La escena que sigue permite situarnos en el contexto adecuado. Varía el valor del parámetro k y observa los resultados en la escena. Para la resolución del problema da el valor 1 al parámetro ayuda y observa que los vértices A y A´ son la intersección de la hipérbola dada con el eje real de la misma, es decir, la recta y=x. El valor de a se calcula teniendo en cuenta que a=d(O,A). c puedes obtenerlo teniendo en cuenta la relación fundamental entre los valores a, b y c de la hipérbola “a2+b2=c2” y el hecho de que sea equilátera “a=b”. Finalmente, para hallar las coordenadas de F y de F´ ten en cuenta que el segmento OF forma 45º con el eje OX y que F´ es simétrico de F con respecto a O.

1.- Resuelve analíticamente el problema para k=8.

2.- Busca un valor de k para el que las coordenadas de A y A´ sean enteras y resuelve analíticamente el problema para ese valor de k.

Utiliza el cambio de escala "zoom"o mueve los ejes "0.x, 0.y" cuando lo necesites.
       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2002