En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diferentes figuras geométricas.

En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

Durante muchos siglos esta curva ha estado asociada con el crecimiento natural de los seres vivos y desde un punto de vista estético con la idea de armonía.

  concha del nautilus

Su construcción se realiza partiendo de un rectángulo áureo de lado mayor a y lado menor b=a/F. Construimos un cuadrado de lado  la medida del lado mayor del rectángulo y lo adosamos al lado mayor obteniéndose un nuevo  rectángulo áureo de lado mayor a+b, en el cual volvemos a pegar un cuadrado y así continuamos  la construcción de manera iterativa. Uniendo dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados con un arco de circunferencia obtenemos la espiral deseada.....

2.-Puedes dar al botón animar para ver la construcción de manera continua.

3.-Construye la espiral de Durero en tu cuaderno partiendo de un rectángulo de lado mayor 2 cm.

4.-Escribe por parejas la sucesión de los lados de los rectángulos que se van formando en la construcción  de la espiral.

5.-Prueba que  los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de los rectángulos construidos son todos iguales entre sí e iguales al número áureo. 

Si consideramos los números de la sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ........y los tomamos de dos en dos    1, 1;   1, 2;   2, 3;   3, 5;   5, 8;     8, 13; .......podemos construir una colección de rectángulos cuyos lados vayan siendo consecutivamente 1 y 1; 1 y 2; 2 y 3; 3 y 5; 5 y 8; 8 y 13; 13 y 21 ; etc.

Cada rectángulo de una generación se forma añadiendo un cuadrado al rectángulo de la generación precedente.

La forma de los rectángulos viene determinada por el cociente entre las  medidas de sus lados,

La sucesión de  cocientes tiende a estabilizarse en un número próximo a 1,618; esto es, tiende a estabilizarse en el número áureo     

1,  2,  1.5,  1.4,  1.6,  1.625,  1.6154,  1.6190, 1.6176,  1.6182,  1.618,...... .

Los cocientes son todos distintos  y por tanto los rectángulos no tienen la misma forma  que los demás, pero a medida que se van haciendo más grandes, sus formas se van haciendo más y más parecidas y se van acercando al rectángulo áureo.

En la siguiente escena hay 6  cuadrados cuyos  lados miden respectivamente 1, 2, 3, 5, 8, 13. Arrastra y coloca los cuadrados, en sentido circular y contrario al de las agujas del reloj, alrededor del cuadradito blanco fijo, colocando el primero encima de él.  Cuando tengas la construcción podrás ver la espiral de Fibonacci  dando al control numérico p el valor 1. Si no consigues observar la espiral de forma adecuada comienza de nuevo dando al botón inicio. Si no logras hacerlo observa la escena siguiente a ésta.