Vectores en el espacio

VECTORES-2

2º de Bachillerato de CNST (Geometría)

Operaciones con vectores libres.

1- Suma de vectores libres. En la escena siguiente hay dos vectores dibujados, el vector u en rojo y el vector v en azul. Puedes cambiar si quieres sus coordenadas con los controles inferiores. También aparece inicialmente el texto en blanco correspondiente a la suma de ambos.

Como no podía ser de otra manera, las coordenadas del vector suma se calculan sumando las de los vectores u y v. ¿Pero cómo se traduce al espacio esta suma?

Si recordamos lo de la idea de movimiento, la suma de dos vectores deberá coincidir con el resultado del movimiento relativo a uno de ellos seguido del movimiento relativo al otro. Así es. podrás verlo si pulsas en el control superior "suma".

Al pulsar, aparecen "copias" de los vectores u y v a continuación de los extremos de v y u, formando un paralelogramo, cuya diagonal es el vector suma u+v.

Diríamos:

"Efectuar el movimiento u más el movimiento v nos da como resultado el movimiento u+v"

2- Producto de un vector libre por un número real (escalar). En la escena siguiente tenemos inicialmente un vector u en rojo, junto con sus coordenadas, que se pueden cambiar con los controles inferiores. También tenemos un escalar (número real) t, que es el que se va a multiplicar por el vector u.

Mueve la escena para verla bien desde distintos puntos de vista.

Las coordenadas del vector t*u se calculan multiplicando las del vector u por t.

En el espacio, esto significa que el vector u se "estira" lo que "diga" t. Si t = 2, se duplica. Si t = 0, se anula. Si t = -1, cambia de sentido.

Para comprobarlo, cambia el control producto a "1", y varía a discreción el escalar "t".

Observarás que u y t*u comparten siempre la misma dirección, pero si t es negativo, tienen sentidos opuestos.

Cambia y mueve la escena hasta que comprendas todo bien.

3- Propiedades. Espacio vectorial R³.

La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo que sigue, "u", "v" y "w" son vectores y "t" y "s" son números:

propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w)
existencia de elemento neutro, que es el vector nulo (0,0,0),
para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento opuesto -u(-x,-y,-z)
propiedad conmutativa, u + v = v + u

El producto de vectores por números (escalares) tiene las siguientes propiedades:

propiedad distributiva con respecto a la suma de vectores, t·(u + v) = t·u + t·v
propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares (t + s)·u = t·u + s·u
propiedad asociativa mixta: t·(s·u) = (t·s)·u
El escalar "1" también es elemento neutro para este producto, 1·u = u

Puedes verificar cada una de ellas con ayuda de las escenas anteriores o sobre tus apuntes, pues no son difíciles.

Por cumplir estas ocho propiedades, el conjunto de vectores libres junto con las operaciones suma de vectores y producto de vectores por escalares forma la estructura de espacio vectorial de los vectores libres de R³ .

	Matías Pérez García

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003