2º de Bachillerato de CNST (Geometría)
Dependencia e independencia de vectores
| - Combinaciones lineales. En la escena siguiente hay dos vectores dibujados, el vector u en rojo y el vector v en azul. Puedes cambiar si quieres sus coordenadas con los controles inferiores. Junto a estos controles, aparecen dos parámetros t y s. A la expresión "t·u + s·v" se le llama combinación lineal de los vectores u y v, de escalares t y s. | |
| El botón "combina" te permite ver
el vector resultante de la combinación lineal. Al principio no se ve nada aunque lo pulses porque tanto t como s valen cero. Dale los valores que quieras y aparecerá en negro el vector t·u +s·v. Mueve la imagen para observar que los tres vectores están siempre en el mismo plano. Cuando esto sucede, se dice que los tres vectores son dependientes, pues hay uno que se puede poner como combinación lineal de los otros dos. |
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Si nos imaginamos un vector w fuera del plano anterior, es obvio que no podemos encontrar valores t y s que hagan que la combinación t·u + s·v coincida con w. En este caso decimos que los vectores u, v y w son independientes.
Más rigurosamente:
Un conjunto de n vectores, {u1,u2,....,un} es independiente si la única combinación lineal de dichos vectores que vale cero es la que tiene todos los escalares iguales a cero;
t1·u1 + t2·u2 + .........tn·un = 0 => t1 = t2 = ....... = tn = 0
Parece distinto a lo dicho hasta ahora, pero es lo mismo:
Dada una combinación lineal igualada a cero, para expresar un vector en función de los demás, despejaríamos:
ui = 1/ti·(-t1·u1 - t2·u2 - .........- tn·un), donde no estaría el término "ti·ui", evidentemente.
pero si todos los números t1, t2,..., tn valen cero, significa que no se puede "despejar" ningún vector como combinación lineal del resto (dividiríamos por cero), que es lo mismo que decir que los vectores son independientes.
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Base. En
la escena siguiente tenemos inicialmente el vector en
rojo u(xp ,yp,zp) = u( 2,3,1). También se ven sobre los
ejes los vectores siguientes:
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| Es muy fácil ver que u = 2·e1 + 3·e2 + 1·e3 Pero esto es así no sólo para dicho vector u, sino para cualquier otro v(xp,yp,zp) =xp·e1 + yp·e2 + zp·e3 Compruébalo cambiando los controles de xp, yp y zp. O sea, cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores e1, e2 y e3; por ello se dice que dichos vectores forman un sistema generador de R3. Como además son independientes, se dice que constituyen una base. Pero no es la única. Si cambias los valores de e1, e2 y e3 comprobarás que casi siempre cualquier vector u(xp,yp,zp) se podrá expresar como combinación lineal de ellos. Las coordenadas nuevas son los escalares (números) de dicha combinación. |
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Dos vectores no pueden formar una base porque sus combinaciones lineales no se saldrían del plano que los contiene.
Gráficamente, tres vectores forman una base cuando no están los tres en el mismo plano, o sea, cuando son independientes.
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