RECTAS ÁNGULOS y CIRCUNFERENCIAS
1.- Tangente a una circunferencia
Posición relativa de recta y circunferencia
Si una recta y una circunferencia no tienen ningún punto en común, es decir, si no se cruzan, la recta se dice recta exterior a la circunferencia. Si la recta corta a la circunferencia en un único punto, llamado punto de tangencia, hablaremos de una recta tangente a la circunferencia. Por último, si la recta corta en dos puntos a la circunferencia, la recta recibe el nombre de recta secante a la circunferencia. En este caso, la porción de recta interior a la circunferencia se llama cuerda.
1.- Utiliza el ratón para mover la recta hacia la circunferencia. Observa los dos puntos de tangencia que aparecen y las cuerdas que definen las diferentes rectas secantes.
2.- Dibuja en tu cuaderno una circunferencia y tres rectas con diferentes pendientes que sean, respectivamente, exterior, secante y tangente a la circunferencia.
3.- ¿Cuánto mide la mayor cuerda que genera una recta secante a una circunferencia de radio r?Ecuación de la recta tangente a una circunferencia
Podemos trazar la recta tangente a una circunferencia de centro (Cx,Cy) por cualquier punto (x0,y0) de ésta. Conocido ese punto no tenemos más que calcular la pendiente m para calcular la ecuación de la recta tangente(*).
Recta tangente y radio al punto de tangencia son perpendiculares, por tanto sus pendientes son inversas y de signo contrario. Así:
(*) Bastará calcular la ecuación punto-pendiente de la recta
4.- Cambia con el ratón el centro de la circunferencia y el punto de tangencia. Colocando un 1 en la casilla inferior se mostrará en la ventana la ecuación de la recta tangente a la circunferencia por el punto seleccionado. (Observa que recta tangente y radio al punto de tangencia son siempre perpendiculares).
5.- Vuelve a cambiar circunferencia y punto de tangencia. Calcula en tu cuaderno (ayudándote de la calculadora y utilizando la fórmula dada para el cálculo de m) la ecuación punto-pendiente de la recta tangente. Compara los resultados obtenidos por tí con los que se muestran en la ventana al visualizar la ecuación.
Tangente común a dos circunferencias. Longitud del segmento delimitado por los puntos de tangencia
Dadas dos circunferencias cuya distancia entre centros es d, podemos trazar rectas tangentes a ambas circunferencias simultaneamente. Dependiendo de si estas tangentes cruzan o no la recta que une los centros, las llamaremos rectas tangentes comunes interior y exterior respectivamente.
A.- Tangente común exterior
Observa detenidamente la siguiente ventana. Como la tangente es común a las dos circunferencias, es perpendicular a los dos radios dibujados. Por tanto estos dos radios son paralelos. Podemos encontrar un triángulo rectángulo en en la figura sin más que desplazar el segmento t en la dirección de los radios una distancia r. Conociendo la distancia que separa los centros, d, y la medida de los radios, R y r, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para despejar el valor de t de la ecuación resultante.
6.- Pulsa el botón animar para observar el movimiento del segmento t hasta formar el triángulo rectángulo que resuelve el problema de la longitud de t . Fíjate en los valores que toman los catetos y la hipotenusa (pulsa inicio para volver a ver la animación).
7.- Utiliza este método para calcular en tu cuaderno la longitud de la tangente exterior a dos circunferencias de radios R=6 cm y r=2 cm cuyos centros están separados 12 cm
A.- Tangente común interior
Cuando trazamos la tangente común atravesando la línea que une los centros de las circunferencias obtenemos la tangente común interior. Al igual que antes podemos desplazar el segmento t hasta formar un triángulo rectángulo por medio del cual obtendremos la longitud de t.
8.- Pulsa el botón animar para observar el movimiento del segmento t hasta formar el triángulo rectángulo que resuelve el problema de la longitud de t . Fíjate en los valores que toman los catetos y la hipotenusa (pulsa inicio para volver a ver la animación).
9.- Calcula en tu cuaderno la longitud de la tangente común interior para el ejemplo de la actividad 7
10.- Piensa en las siguientes cuestiones: ¿Cuántas tangentes interiores y exteriores comunes a dos circunferencias podemos trazar?¿Cómo calcularías la distancia entre los centros d conociendo ahora la longitud de la tangente común t?¿Cómo calcularías la longitud de una cadena de bicicleta sabiendo el radio del plato, el de la corona y la distancia que los separa?¿Se te ocurre algún otro ejemplo en el que aplicar esta técnica?
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