Cuadrados_magicos

	CUADRADOS MÁGICOS 4X4
	Bloque. Taller de Matemáticas

1. RESOLUCIÓN DE UN CUADRADO MÁGICO 4X4

Ahora nos enfrentamos a un reto mayor, conseguir colocar los números del 1 al 16 formando un cuadrado mágico. Hay más soluciones, pero también hay muchas más formas de colocar los dieciséis números. El número de soluciones es de 7.040, y el número de formas posibles de colocar los dieciséis números en el cuadrado es 16!=20.922.789.888.000; luego, si lo intentamos al azar, probablemente no lo consigamos. ¿Cuál es la constante mágica (es decir, lo que tiene que sumar cada fila, columna o diagonal) de este cuadrado mágico? Esto es lo primero que tendremos que responder, y a partir de ahí, suerte.

1.- Si has conseguido una solución, anótala en tu cuaderno e inmediatamente tendrás otras 7 más girando el cuadrado o reflejando la solución obtenida respecto de cualquier eje de simetría del cuadrado. Podemos, por tanto, considerar que hay 880 (=7.040/8) soluciones básicas.

2.- Si has obtenido una solución, haz lo siguiente: intercambia las dos filas centrales e intercambia las dos columnas centrales. ¿Qué ha pasado? Eso, se ha obtenido una nueva solución (para algunas soluciones, después del primer intercambio se obtiene una solución nueva, pero esto no ocurre para todas). Luego, a partir de 440 soluciones podemos obtener todas las soluciones. Piensa por qué después de intercambiar las filas y las columnas centrales se obtiene una nueva solución.

Los cuadrados mágicos de orden 4 fueron introducidos en Europa en el siglo XV, en El Renacimiento. Durante los dos siglos siguientes se llevaban grabados en una chapa como amuletos, pues se les atribuía poderes mágicos.

Alberto Durero, pintor alemán nacido en Nuremberg, realizó en 1514 el grabado La Melancolía, que se puede ver en el Germanisches National Museum de Nuremberg. En este grabado, Durero pintó, en lugar destacado, el siguiente cuadrado mágico de orden 4:

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Este cuadrado mágico tiene algunas propiedades más, es más mágico que otros, algunos los llaman supermágicos y otros, diabólicos. Si sumamos los números de los vértices la suma vale 34; también se obtiene 34 sumando los cuatro número centrales; y también sumando los cuatro números (16, 3, 5, 10) que forman el cuadrado de 2x2 superior izquierdo; ídem con el superior derecho, inferior izquierdo e inferior derecho. Espero que la suerte te acompañe y puedas obtener otros cuadrados mágicos que tengan las misma propiedades que el que pintó Durero. Una curiosidad más: la fecha de la obra La Melancolía se encuentra expresada en las dos celdas centrales inferiores.

Hay muchos cuadrados supermágicos, de las 440 soluciones hay 216 que corresponden a cuadrados supermágicos; y de las 880 soluciones básicas, 432 son de supermágicos.

Para ver si un cuadrado mágico es supermágico basta con comprobar que los números de los vértices suman la constante mágica y que los cuatros números de la esquina superior izquierda suman dicha constante, ¿por qué?

2. CREACIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS 4X4
Análogamente a como hicimos con los cuadrados mágicos de orden 3, vamos ahora a presentar una escena que nos ayude a crear nuestros propios cuadrados mágicos. Esto es fácil, pues se trata de resolver un sistema de 10 ecuaciones lineales con 16 incógnitas, que resulta ser siempre compatible, sea cual sea la constante mágica. Utilicemos un ejemplo que nos sirva de referencia para crear cuadrados mágicos.
	1. Para crear el cuadrado mágico 4X4 de ejemplo, realicemos los siguientes pasos: -Tomemos como constante mágica 798. Pongamos en las celdas 1, 2 y 3 los valores 17, 307 y 127 respectivamente. -Y en las celdas 5, 6 y 7 los valores 317, 157 y 277. Ya podemos calcular el valor de las celdas 4 y 8. -Por último, pongamos en la celda 9 el valor 397. Ahora se puede calcular el valor de la celda 13 y luego el de la celda 10.
-Para saber el valor que le corresponde a la celda 11 debemos realizar la siguiente operación: 2s-2c₁-c₂-c₃-c₅-c₆-c₉ donde s es la constante mágica y c_k es el valor de la celda k. Esta expresión tan extraña ha salido de resolver el sistema de ecuaciones anteriormente reseñado. Lo que queda es fácil de hacer y se deja para el lector. El cuadrado mágico de este ejemplo tiene un par de propiedades curiosas: la primera es evidente, se ve a siete leguas; la segunda nos resultará obvia cuando descompongamos en factores los números que forman el cuadrado mágico. Cuando esté construido, comprobar si, además, es supermágico. 2.-Siguiendo las indicaciones que se desprenden del ejemplo descrito se pueden construir muchos cuadrados mágicos. Construye otro en tu cuaderno. Conviene recordar que todos los números que se obtengan han de ser distintos. *Recordar siempre:* crear un cuadrado mágico de orden 4 es sencillo; reconstruir uno creado por otro es complicado, pero divertido.

	Salvador Calvo-Fernández Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001